32507 S6300956

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od sformułowania twierdzenia o ciągu rnonotoniczny,, Ciąg niemalejacy (nierosnąey) od pewnego numeru oraz ograniczony _z zbieżny do granicy właściwej.

a) Zbadamy najpierw monotoniczność ciągu (x_n) Ponieważ ciąg tm

nie, więc wystarczy porówna/; iloraz -z 1, Marny

Xn

Kin

^nhzU,_A.

2^n+ł

x_n+i _ (n + 1)? _    2

x_n    2^ n +1

n!

Xn+1

Zauważmy, że - ^ 1 dla n ^ 1. Oznacza to, że ciąg (z_n) jest nieroby _r.

jest ograniczony z dołu, bo dla każdego n a N mamy x_n > 0. Z twierdze*.

monotonicznym i ograniczonym wynika, że jest on zbieżny. Niech a oznacza rr    ^

9    '    u.

2    '^r-^vWH

ciągu. Przechodząc w równości x_n+i = x_n --- z n do nieskończon/ici .

fl T 1

równanie g — g ■ 0, stąd g = 0.

b) Monotoniczność ciągu (y_n) określimy badając znak różnicy y_ntl - y_n ,

1 2

1/n+l

, 1 1 ,1

V* -    77 + m+"^H—• +

1! 2! 2

+

n! (n+1)!    (n-ł-2)!

1    —n

i i

l! ⁺ 2!

i 2

Uri?

(n + 2)! (n + 1)! (n + 2)!

< 0 dla każdego n 6 N,

Zatem ciąg (y_n) jest malejący. Ograniczoność tego ciągu z dołu wynika z merów*; y„ > 0 dla każdego n 6 N. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym t ograniczonym mii że ciąg (y_n) jest zbieżny. Wyznaczenie granicy tego ciągu wymaga jednak wiarksuń: teorii szeregów (ciąg ten jest zbieżny do e — 1).

c) Zauważmy najpierw, że ciąg (z_n) ma wyrazy dodatnie, a zatem jest ograsiaoni dołu. Ponadto dla każdego n € N mamy

1

Zn+l —    ^ 2n-

1 + Zn

To oznacza, że ciąg ten jest malejący. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i opieczonym wynika, że ciąg (z_n) jest zbieżny. Niech g oznacza jego granicę. Przetóą:x

1    I

równości z_n+i = z_n • - z n do nieskończoności otrzymamy warunek g = -—w:

1 + Xn    ^l~9

9 = 0.

d) Zbadamy najpierw monotoniczność ciągu (u_n). Mamy

( 2 2² 2» , , 2“ , ^ył' 4 “’^,+1    ~ V_i3+l ⁺ 3²+2 ⁺ 3³+3⁺ ' ⁺3"+n    3"« + n + l/

( 2    2²    2*    ^

~ yŚTT ⁺ 3² +2 ⁺ 3³ + 3 ⁺ “ ⁺ 3" +«/

2«+i

~ 3^n+l + n +-1 ^> °

____ II. mniw—MM—