DSC07028 (4)

44

C^gHiczbo*

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od przypomnienia twierdzenie o dwóch ciągach: jeżeli ciągi (a,),« spełniają począwszy od pewnej liczby naturalnej no nierówność a_n $ h_n oraz ciąg ( J ma granicę niewłaściwą oo, to ciąg (6„) również ma granicę oo. Analogicznie, jeżeli (o,,). (6«) spełniają począwszy od pewnej liczby naturalnej no nierówność a_n $ 6* ciąg (bn) ma granicą niewłaściwą -oo, to ciąg (a„) również ma granicą -oo. a) Pokażemy, że granicą ciągu a_n = n⁴ + (— l)ⁿn jest oo. W tym celu wskażemy r-.. (bn). który spełnia nierówność 6_n $ a„ oraz jest zbieżny do oo. Mamy

lim fn⁴ + (—l)"nl = oo.

n—oo ^L

b) Zauważmy, że dla n ^ 2 spełniona jest nierówność

Ponadto lim |1 - n) = -oo. Zatem stosując twierdzenie o dwóch ciągach do ciągów («•) w—oo

i (ko) = (1 — n) otrzymamy, że

= —oo.

•o—oo n — sin n

c) Pokażemy, że granicą ciągu a_n = 3* + (-2)ⁿ jest oo. W tym celu wskażemy ciąg

tj 11mamroty, oc grdniuj cwgu    — ** r \w. »» v—--- .    »

(ko), który ma granicą oo i wyrazy nie większe od odpowiednich wyrazów ciągu Uzasadnimy niżej, że dla każdego n € N prawdziwa jest nierówność

Dła parzystych n nierówność ta jest oczywista, zaś dla nieparzystych mamy

zachodzi dla rk/wolnej liczby naturalnej n. Ponieważ ciąg (6„) jest zbieżny do oo, wiąca twierdzenia o dwóch ciągach wynika, że również ciąg (ci„) jest zbieżny do oo. d) Pokażemy, że granicą ciągu a„ = tyńinn - n jest —oo. W tym celu wskażemy ciąg (ko), który ma granicą —oo i wyrazy nie mniejsze od odpowiednich wyrazów ciągu (o») • Zauważmy, że prawdziwa jest nierówność

Oo = {frinri - n <    — n ■ k, dla n € N.

Nierówność ta wynika z oczywistej nierówności |nin z| < 1 dla x € R. Ponieważ ciąg (ón) jeat zbieżny do -oo. więc z twierdzenia o dwóch ciągach wynika, że ciąg (a„) także j**¹

Przykłady

zbieżny do —oo.

<0 Pokażemy, że granicą ciągu a_n = ~ + 4f + 4^ +* 4= ic>* «>•^w^d«ny ciąg

V1 v2 v3 yn

(b„), który jest zbieżny do oo i ma wyrazy nie większe od odpowiednich wymów ciągu U*0 • Mamy

⁼ⁿ■    ^ “^Łn'

n-skladników

Ponieważ ciąg (6«) jest zbieżny do oo, więc z twierdzenia o dwóch ciągch wynika, że ciąg (dn) także jest zbieżny do oo.

() W rozwiązaniu wykorzystamy nierówność podwójną z - \ < E(x) $ x dia z € R-Mamy

SCalffiS |j.iSl-!l „ ...

E (Vn^T+i)    Vn^a +1

Ponieważ lim - .. J= -a = oo, więc z twierdzenia o dwóch ciągach wynika, ze badany

n—oo ytl* +1

ciąg także ma granicę oo.

• Przykład 1.12

Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć podane gra

nice: a

jce:

,_nUm (l-c°si) ; b)B»Sj±il*S c) U» (V5+I-^i e) Um(7"-fl»-₆»);    ■

Rozwiązanie

a) Zauważmy najpierw, że dla każdego n € N spełniona jest nierówność cos — < 1. Stąd

wynika, że ciąg 1 - cos — ma wyrazy dodatnie . Ponadto mamy
		lim fl n—co \	-co.i)=0.
Zatem	Urn n—OO	fi — COS	I)’ = (oT=a
b) Mamy			2+i 2+0
.. (2n+l)3-	:«»■*
n~eo n(2" + 1)	i nS"	lim 7 n~*co f	'ią^n i m^n o*+o*

= — = oo.

c) Mamy

81=o.