45

w której cząstka znajduje .się na pewnej wysokości y nad Ziemią, odpowie pewna grawitacyjna energia potencjalna £,,. W tym celu zapiszmy równanie (g 7) w postaci:

odniesienia, w której cząstka znajduje się w punkcie odniesienia y_|Hlc/. Zazwy. czaj przyjmuje się. że    - 0 i V,,..., — 0. Równanie (8 Si przybiorą wied\

nasiępującą postać:

£p(,v) = mi>y (grawiiiicyjna energia poicncjulnal.    (K.9)

7. tego równania wynika, że:

► Grawiiiicyjna energia pmenejalna układu c/ąMka-Zietnia zależy jedynie od polo-żenią y cząstki w pionie, liczonego względem punktu odniesienia y = 0 (czyli jej wysokości), a nic zależy od jej położenia w poziomic.

Energia potencjalna sprężystości

Rozważmy teraz układ klocek-sprężyna przedstawiony na rysunku 8.3. w którym ruchomy klocek jest przymocowany do kotka sprężyny o stałej sprężystości k. Gdy klocek przemieszcza się / punktu v_pKV do punktu .u„_ńv.. działa na niego silu sprężystości: /•' = -k.w W celu wyznaczenia odpowiadającej temu zmiany energii potencjalnej sprężystości układu klocek-sprężyna korzystamy / równania (8.6), w którym podstawiamy -k.\ w miejsce F(.v). Otrzymujemy:

ezvli

(8.10)

Ahy powiązać energię potencjalną £,, z położeniem klocka ,v. wybieramy jako konfigurac ję odniesienia stan układu, gdy sprężyna jest nicodksz.talconu. a klocek znajduje się w punkcie = 0. lfnergia potencjalna £_ppuu jest wtedy równa zeru i równanie (8.10) przybiera postać;

£'i> — 0 = ±*jr² - 0.

/ czego wynika:

174

8. Energia potencjalna i zachowanie energii

'pRAWDZI AN 2: Cząstka, na którą działa siła zachowawcza skierowana wzdłuż osi a Umieszcza się wzdłuż lej osi od a = 0 do Na rysunkach przedstawiono zależności od położenia w trzech przypadkach. We wszystkich przypadkach największa wartość Oględna siły l \ jest taka sama. Uszereguj te przypadki według wartości zmiany energii potencjalnej podczas ruchu cząstki, począwszy od najbardziej dodatniej.

(2)

Porodu 1: Jak u:\svae i u jęcia ..energia patem johnt"'.’

Energia potencjalna jest związana z układem jako całością. Mo źesz się jednak zetknąć ze stwierdzeniem, w którym wiąże się ją tylko z częścią układu. Na przykład, możesz pr/oc/yluć. ze „grawitacyjna energia potencjalna w iszącego na drzewie jabłka wynosi 31) J'\ IstiUitie. tak Nie często mówi. ale nule/.) zawsze

pamiętać, że jest to skrót myślowy i że w istocie r/cc/y cliu d/i o energię potencjalną układu — w tym przypadku układu jithlko—Ziemia. Musisz także pamiętać, że mówienie o określonej wartości energii potencjalnej, tutaj równej 30 J. ma sous tylko utedy. gdy ustalona jest wartość odniesienia energii potencjalnej, o czym będziemy s/e/cgńlowo mówić \y pr/ykkul/ic S.1

Przykład 8.2

i    i    r i

(I)    (2)    (?)    («)

Leniwiec o masie 2 kg wisi na gałęzi na wysokości 5 ni nad ziemią (rys. 8 <o.

a) Ile wynosi grawitacyjna energia potencjalna układu leniwiec Ziemia, gdy jako punki odniesienia v — O wybierzemy położenie: 1) powierzchni ziemi. 2) podłogi balkonu, znajdującego się o 3 m nad ziemią. 3) gałęzi, na której wisi leniwiec. 4i ko rnny drzewa, znajdującej się o 1 m nad tą gałęzią? Przyjmij, ze na poziomie odniesienia \ = O grawitacyjna energia potencjalna jest równa zeru.

ROZWIĄZANIE:

O—» (idy ustalony jest punkt odniesienia, dla którego y O. grawitacyjną energię potencjalną układu względem tcgt> punktu odniesienia można wyznae/yć z równania (8.9). Na przykład, w przypadku I leniwiec znajduje się na wysokości y — 5 m i utrzymujemy: •    -    •

£_p = nijfy = (J kg)(9.K m/s*i(5 m) = 98 J.    todpowiedź)

W pozostałych przypadkach otrzymujemy:

2)    £_p = mgy = wg (2 m) = 39 J.

3)    £_p — mgy = ntg{0) = 0 J,

4)    E₎₍ = nigy = mg(-1 m) -• -19.6 J ^    20 J. (odpowiedź)

Rys. 8.6. Przykład 8.2. Cztery przypadki wyboru punktu odniesienia y - 0. Wszystkie wartości y podano w metrach. Wartość energii potencjalnej układu leniwiec-Zicmia zależy od wyboru punktu odniesienia. Od lego wyboru nic zależy jednak zmiana energii potencjalnej A/ć,, układu w czasie ruchu leniwca, na przykład, gdy spada oii z gałęzi

175

8.3. Wyznaczanie energii potencjalnej