65(1) 3

Korzystając z rysunku, zapisujemy sinusy i cosinusy odpowiednich kątów.	sina = jr cos a = y cos P = jr
Przekształcamy lewą stronę równości, wstawiając w miejsce funkcji trygonometrycznych wyznaczone liczby.	, sina + sin/J cos a + cos/3	a . b a + b 7 ^+ r _ r b a b + a c c ć
Korzystamy z przemienności dodawania: b + a- a + b.	-(***) = (•?*)	= l=P

r~    IBZEHEEBi

Przekątna prostokąta jest nachylona do dłuższego boku pod kątem a, takim, że sina = dłuższa od szerokości prostokąta o 2. Oblicz tg a.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek pomocniczy.

a

Trójkąt DAB jest prostokątny. Jego przyprostokątne mają długości a i b, przcciwprostokątna ma a kąt ostry miarę a.

Zapisujemy sinus kąta a.    sin a = —

Z treści zadania wynika,

7

że sin a = -śj-. Tworzymy odpowiednie równanie i obliczamy szerokość prostokąta.

—2— ₌ 2. a + 2    3

3 a = 2a + 4 a = 4

Obliczamy długość przeciw prostokąt ncj.	c - a + 2 = 4 + 2
Aby znaleźć tg a, należy	w II + N 3
obliczyć długość drugiej	4^: + b'= 6^:
przyprostokątnej.	16 + b^2= 36
Korzystamy z twierdzenia
Pitagorasa dla trójkąta DAB.	b' = 20 /; = $20 =2/5

Obliczamy tg a.

lg« = £

tger

4    -ł/5    2/5

2/5 ' >0 " 5

Odpowiedź: tg a =

2/5 5 ’

lenny

jjńw ułamki

necó mianownika.

. ... _r Jest katem ostrym, to równość    + 777^7 = tg.v nic jest prawdziwa.

i. że F'" ^J

_K{a*fc»/3«^ie:

1 ,n strono równości i wykażemy, że nic jest równa prawej stronie. imv *e" *!' ^T

sin x (1 + cos.v) + sin a: (1 - cos.v)

/ _ snu: ₊ sin.y__

' I - cos.y 1 + cos.v    (I - cos.vX I + cos.y)

_ sin.y + sin,vcos.v + sin - sin.y cosx _    2 sin.y

I - cos‘.y

1 - cos* .v

/ _ró*ności sin * ^{+ cOS} x ~ ¹ fpfaicsM *-- ¹ - ^c - '•

Przekształcamy prawą strony równani* korzystając

, .    _ sin .v

: pMno>ci tg.v - cos.v

I _ 2 sin.y _    2

sin* a^{- s}'^nv

_ sin.y ' ~ cos.y l.*P

Wiedząc, że a jest kątem ostrym i tg a = 2. oblicz sin a i cos a.

Rozwiązanie:

wykorzystamy związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. ^>

Wyznaczamy sina z równości

iga Jffik r* cosa-

^ wiązek, który wykorzystamy, to jedynka

^I)gon«mctryczn;i.

^awiamy 2 cos a w miejsce    (2cosa)^:+cos**a = I

Vnaccir

tg a = 2 sina cos a sina = 2 cos a

= 2

sin ‘ a + cos* a = I

^Jn,y cos' a.

6. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

4    cos* a + cos*'a = l

5    cos'a = I 2

'Y —_

5

*    I

COS* CC - ±

^S^czbą dodatnią. °^)S Wia₌ y'^°^r^wności

^^sina ^ ²* ^s    s

cos a -