6 (44)

117

Krzywe prostowalne

Lł Z każdym podziałem P = {x₀, ..., x_B} odcinka <a, b> i z dowolną krzywą y w R* Hfeżemy liczbę

K(P,y) = I )y(^r)-y(^i-j)l-

i* 1- _v«.

składnik powyższej sumy oznacza odległość (w R^k) pomiędzy punktami y(x_t _ _t) oraz y(x,). Haem V(P, y)jest długością łamanej o wierzchołkach y(x₁)_j    y(x„) występujących w takim

^kaie porządku. Jeżeli nasz podział będzie coraz drobniejszy, to łamana o takich wierzchoł-Btaś będzie leżała coraz bliżej naszej krzywej. Wobec tego jest rzeczą rozsądną przyjąć jako Hfencję długości y liczbę

supP(P, y)* .

Ltzx kres górny jest wzięty po zbiorze wszystkich podziałów <fl, b).

[ Jeżeli V(y) < co, to powiemy, że y jest krzywą prostówalną.

I W pewnych przypadkach możemy obliczać K(yV-jako całkę Riemanna. Pokażemy, że Htyczy to przypadku krzywych różniczkowainych W sposób ciągły, tj. krzywych, których Mcbodna y' jest ciągła.

I 427. TWIERDZENIE. Jeżeli / jest funkcją ciągłą na (a, b), to y jest prostowalna oraz

■ Dowód. Jeżeli a < xjiV‘< xi < ó, to

^    W    ^ > |    . te*

I    są %'»

Wobec tego dla dowolnego podziału P odcinka <u, 6> mamy

^(P,y)<]|/(0|dt

i w konsekwencji

2#< {|y'(t)|dt.

Aby wykazać nierówność przeciwną wybierzmy e > 0. Ponieważ y' jest ciągła jednostajnie na <a, ó), więc istnieje 8 > 0 taka, że

- v|y^b-7'(t)l < e,. o ile |s-t| < 8.    _:

Niech P = {x₀,..., x„} będzie podziałem (a, b}, przy którym Ax_t < 8 dla dowolnego i. Jeżeli Xi-1 < t < x, to

Ivt0l iy(x₍j|+ś.