936518593312489959691893516 n

Całkę szwególną znajdziemy za pomocą metody uzmienniania stałych. W tym celu ‘ Ale wiązujemy układ równań    _1_

Ci(x)+C₂(x) cos x+Cj(x) sin x = 0.

- C₂(x) sin x + C',(x) cos x = 0.

Mamy

sinx

^{5 u}' ^R6wn*nu liniowe

<*^Jx . , . dx

^r+Z^^+ai^-asincuj.

0 *U|yeh

J COS X    _cos x • Cj(x) *• - j tg X dx »In {cos x|.

przy czym równanie charakterystyczne miało dwa pierwiastki podwójne /■_1-2»0^/_> ^    ^C,(x)"“Jtg^łxdx--_tgx+x

s/c/ególn^ równania <g) znajdziemy metody przewidywania.    -TT^t '' "^{am 0 Ca,ki} ««cgólrc. prnjflfa* _tIa, .

^ca,ka °SÓIna ma więc postaó    ^{P >Jt ,tmy 5tale ró}-^snc zeru). Poszukiwana.

H Li '-^x(‘°*^x+^b™^x) I /^{ac,+c,co,x+Cłrinx+}^V^wx«oic«xi-_tóx«_lx+XJinx;

</ = 2, ponieważ/(x)=sin x-e°-sin (1 x). tzn. *-0 i ó-l oraz liczby 0± 1 -« są pj. ^,47' ^Ro»nąaó równanie wi.iukami podwójnymi równania charakterystycznego); stąd

x*'«Acocos(<of+y), x*"- -*«^Jsin(o>r+y).

2d ■ /i • o) • cos (o>r+y) + h (©$ - w¹) sin (co/+y) - a sin ul.

sin wf - sin (wr+y - y) - cos y sin (tor+y) - sin y cos(cor+y).

zatem przyrównując współczynniki przy funkcjach cos(o»r+y) i sin(col+y), mamy układ

równań o niewiadomych h i y

_(3i)    2dho--asiay,

h(a&-o»*)-flco»7-

Rozwiązując powyższy układ, otrzymujemy

^hm7&^F+^'

•    wyczłinc    wyższych    rzędów-

IU.    różniczkowe ^X"^5W'

g) Równanie jednorodne równania

_₍    /⁴>+2y"+/»»nx

ro/wiąralifmy w pr/ykbdzic 143 g. Mianowicie.

y₀-(C, + C, X) cos X+(C J + C₄ x) SI n x.

/’ -2x(flcosx+fcsinx)+x^ł(-asinx+bcosx), y*"=2(o cos'x+6 sin x) -r 4x(- a sin x + b cos x) + x^:( - a cos x - b sin x). y*'"=6 (- a sin x+b cos x)+6x (- a cos x - b si n x) -ł- x²(a sin x-b cos x). y*^<4>« J2(-<r oosx - b sin x)+8x(n sin x - b cos x) + x^:(a cos x + b sin x).

Podstawując znalezione pochodne do równania (g), otrzymujemy

-8flC0sx-86sinx=sinx,

skąd o=0, b= - Zatem całka ogólna równania (g) jest następująca:

>■ -(C, + C, x) cos x+(C,+C₄ x) sin x - i x^J sin x.

h) Równanie charakterystyczne równania jednorodnego

/"+>•'-O

przyjmuje postaó /•»+z=0. S'ąd z, =0. r_iA = Ti. czyli

j'o=C, +C₃ cosx + Cjsinx.

- Ci(x) cos x - C'j(x) sin x -    .

cos^J x c^x^{1 C}^^x> “ - *8 x. Ci(x) = - _tg^; x.

* skąd

(a)

gdzie d>0, (rz_o>0, a^O. a,pO.

Rozwiązanie. Kor/ysiając / rozwiązania zadania 144. otrzymujemy C, e'^l, + C_}e^r“, gdzie id-d^ł-ft,*>0 oraz r.j— x₀= ^e ^(^i+CiO, gdzie Jd«d^J-o*.=0 oraz

e *’(€, cos V(Oo-d‘l + Cjsin>/ea® -d³l). gdzie {d"»d^j-ułj<0

oraz r,_i:--d±iv/wj-d^ł.

Całkę szczególną równania (a) znajdziemy za pomocą metody przewidywania. Otóż x* •»/4,sino>r+R_lcoso>r=/isin(<of+y). gdzie Jt>0

(p=*0. ponieważ prawa strona równania (•') /(r)=ł?5ina>/-'C⁰'osin<wr oraz liczby r-= 0±<o/ nic są pierwiastkami równania charakterystycznego dli dii0). Kolejno znajdujemy

skąd