8(7)

21)

U*

M

b)

Rys. 3.1. .0 Wszystkie ir/.y Mr/alki mają laką samą długość i laki sam kierunek, ilustrują więc takie samo pr/cmics/c/c-nie. In Wszystkie |H»ka/anc drogi. po kłut ych puruN/ają się ciała między punk-lami A i Ii. odpowiadają takiemu samemu wektorowi przemieszczenia

lor    ,

cząstki V — i \.

łączne przetnieszc/.onic jest sumą wcktorow.i p t ze m ic s/c/e ti sk I ;u 11 mych

a)

--_r-o

•V

b)

Rys. 3.2. a) AC jest sumą wektorową wektorów A li i HC. b) Te same wektory w innych oznaczeniach

3.1.    Wektory i skalary

Cząstka poruszająca się wzdłuż linii prostej ma tło wyboru tylko dwa kicrttnfcj ruchu. Jeden z tych kierunków możemy przyjąć za dodatni, a drugi — za ujemny Jednak dla cząstki poruszającej się w przestrzeni trójwymiarowej znak plus minus nic wystarcza już do wskazania kierunku ruchu. Musimy wtedy zastosować pojęcie wektora.

Wektor ma nie tylko wartość, lecz i kierunek. Działania na wektorach podle-gają pewnym szczególnym prawom (prawom rachunku wektorowego), które omówimy w tym rozdziale. Wielkość wektorowa to wielkość, która ma zarówno wartość (wartość bezwzględną, moduł), jak i kierunek, a więc może być przedstawiona /a pomocą pewnego wektora. Wektorowymi wielkościami fizycznymi są m.in. prze. mieszczenie, prędkość i przyspieszenie. W niniejszej ksią/ec spotkasz wiele innych wielkości wektorowych, warto zatem poznać teraz prawa działań na wektorach, gdyż bardzo przydadzą się one lobie w dalszych rozdziałach podręcznika

Nie ws/ysikie wielkości li/yczne wiążą się / jakimś kierunkiem. Na przy-kład takie wielkości, jak: temperatura, ciśnienie, energia, masa i c/as nic wskazują żadnego kierunku w przestrzeni. Takie wielkości nazywamy skalaratni. Skalary podlegają zwykłym prawom algebry. Do określenia skalata w ystarczy podać war-lość bezwzględną oraz znak (np. temperatura *-4tl C).

Najprostszą wielkością wektorową jest pizcmics/e/enic. czyli zmiana położenia. Przedstawiający je wektor nazywamy, jak się można domyślać, wektorem przemieszczenia (podobnie, mamy wektory prędkości i przyspieszenia). Jeśli cząstka zmienia swe położenie, poruszając się z punktu A do punktu fi. jak na rysunku 3.1. to mówimy, ze cząstka doznaje pr/cmies/c/onia z -\ do />. co przedstawiamy za pomocą strzałki łączącej punkt A z punkiem li. .Strzałka jest graficznym symbolem wektora. Aby odróżnić wektory od innego rodzaju strzałek, z jakimi spotkamy się w tej książce, grot wektora będziemy zaznaczać jako trójkąt.

Trzy strzałki pokazane na rysunku 3.la. łączące punkty .\ i fi. A' i fi' oraz A" i S" mają taką samą długość i taki sam kierunek. Ilustrują one zatem takie same wektory przemieszczenia, a więc laką samą zjnianę położenia cząstki. Wektor nie zmienia swej wielkości, jeśli ulega przesunięciu bez zmiany jego długości (modułu) i kierunku.

Wektor przemieszczenia nie informuje nas ci drodze, po jakiej poruszała się cząstka. Na rysunku 3. Ib przedstawiono trzy możliwe drogi między punktami A i fi. którym odpowiada ten sam wektor przemieszczenia — len, który pokazano na rysunku 3. la. Tak więc wektor przemieszczenia ilustruje elekt końcowy ruchu, a nic sam ruch.

3.2.    Geometryczne dodawanie wektorów

Załóżmy, że cząstka porusza się od punktu .4 do Ii. a następnie od punktu R do C. jak pokazano na diagramie wektorowym na rysunku 3.2a. Całkowite przemieszczenie cząstki możemy przedstawić (niezależnie od drogi, po jakiej poruszała się cząstka między tymi punktami) za pomocą wektorów kolejnych przemieszczeń, tzn. AR i RC. Efekt łączny tych dwóch przemieszczeń jest przemieszczeniem cząstki od punktu A do C. Wektor AC nazywamy sumą wektorową (lub wektorem wypadkowym) wektorów Ali i RC. Nie jest to zwykła suma algebraiczna.

38    3. Wektory

Na rysunku 3.2b przerysowaliśmy wektory z rysunku 3.2a. oznaczając je — • v będziemy odtąd zawsze postępować — za pomocą strzałki nad symbolem opisanym kursywą, np. a. Długość (moduł) wektora, czyli wielkość me mającą j znaku, ani kierunku będziemy oznaczać takim samym symbolem bez strzałki, _np a, b lub v (takie same oznaczenia należy stosować przy zapisie odręcznym). Symbol ze strzałką u góry będzie zawsze oznaczał wszystkie cechy wektora, tzn. i długość, i kierunek.

Związek między trzema wektorami z rysunku 3.2b możemy przedstawić jako równani wektorowe.

s - a + b.    (3.1)

oznaczające, że wektor V jesi sumą wektorów u i b. Symbol r w równaniu (3.1). ^ także słowa ..suma" i ..dodawanie*’ mają inne znaczenie w działaniach na wektorach ni/ w zwykłej algebrze. ponieważ wynik operacji zależy zarówno od wartości bezwzględnych, juk i od kierunków składników.

Z rysunku 3.2 wynika sposób, w jaki należy dodawać geometrycznie dwuwymiarowe wek ton o i h: 1) na kartce należy narysować wektor a w jakiejś dogodnej skali i pod właściwym kątem: 2) w lej samej skali należy narysować wektor h tak. ab\ jego początek był końcem wektora ii. oczywiście pod odpowiednim kątem: 3) sumą tych dwóch wektorów jest wektor a. którego jH>c/ątkicm jest początek wektora «. a końcem • koniec wektora h.

Rys. 3.3. Owa wektory fi < /> można do siebie dodawać w dowolnej kolejności — patrz rów nanie (3.2)

Zdefiniowane w ten sposób dodawanie wektorów ma dwie ważne właściwości. Po pierwszo, wynik nie zależy od kolejności składników. Dodając ii do b. dostajemy to samo. co dodając h do a (rys 3.3). i/n.:

•    Ft ą- b — b -j~ ii (pr/.emiounośe dodawaniu).    (3.2)

Po drugie, jeśli mamy dodać więcej niż dwa wektory, to możemy ustawić je pr/y tym w dowolnej kolejności. Tak więc, jeśli mamy dodać do siebie wektory Ft. b i c, to możemy najpierw dodać do siebie Fi i />. a potom ich sumę dodać do ?. Możemy również najpierw dodać do siebie b i ć. a potem dodać tę sumę do ii. W obydwu przypadkach otrzymujemy laki sam wynik, co pokazano na rysunku 3.4. Wobec tego mamy:

[Ft + b\ ~ <• = Ft |- ib -T C) (łączność dodawania).

(3.3)

Rys. 3.4. Dodając trzy wektory Ft. I> i c można jo grupować w dowolny sposób — patrz równanie (3 3)

3 2. Geomełryczne dodo woni# wektorów 39