Capture054

	A i	A:	Ai
«,j	1,00	0.60	0.14
B:	0.00	0.40	0.86
	1.00	1.00	1.00

W tvni orokhd* mielitoiy H-om*** "ł***™*" .........."^u

_W™w* maaiwwhpobmtó.j clcmcnlurm.n m_Zpab/cn,u drani

mntliwych W widu lytiucjuch praktycznych mc mn laku, ■•p.. Lr/cbnc prawdopodobno .r/cba oblicad cmp.nc/mc. Na przykład , , ŁcSm /C pewna osoba, wybrana losowo , popuU,, Bawiono ma w. ccc, ni i W Ku? Ohlic/cmc lego prawdopodob.crWlw., »>„ Lema oc mctiala empiryca.,. W tym prnpadko poir/ebne p.awd,.p..: da sic pr/vpuszc/alnic obliczy-; na podstaw,c danych ze sp.so lud,,,,w,

6.4. Prawdopodobieństwo łączne i warunkowe

Rozwa/my populację, której elementy sklasyfikowane są pod względem dwivh .■I i B. gdzie .4 (.Sejmuje trzy klasy lub warstwy. B zaś dwie klasy lub warstw \

	A1	A:	A%
B,	0.40	0.15	0.05
B:	0.00	0.10 1	0.30
	0.40	025	0.35

0.40

Prawdopodobieństwo, że dana osoba należy do /?, wynosi 0.60. tj prawd, dobieństwo brzegowe piB_t) = 0,60. Prawdopodobieństwo, ze należy ona wynosi 0,40. tj. prawdopodobieństwo brzegowe />M,) - 0.40. Prawdopodobni, że należ) ona zarówno do A,. jak i do B\ wynosi 0.40. tj.    i = 0.4o

ostatnie prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem łącznym. Jest to praw podobieństwo, że dany element należy jednocześnie do dwóch klas. \\\/w; prawdopodobieństwa w powyższej tabeli są prawdopodobieństwami łącznymi Teraz rozważmy, przyjmując, że pewien element należy do /f,. jakie jest y. wdopodobieństwo. ze należy on do .4,. A_; lub .4»? Aby odpowiedzieć na to pyi.n dzielimy prawdopodobieństwa łączne p(A_xB_y) = 0.40, p{A_:B_x) = 0,15 i piAJi - 0.05 przez prawdopodobieństwo /»{#,) = 0.60, aby uzyskać p(A_x/B_x) = rr p(AJB_x) = 0.25 i piAJB_x) = 0.08. Są to prawdopodobieństwa warunkowe. </■ prawdopodobieństwa .4,. A_: i Aj pod warunkiem B_x. Zwróćmy uwagę, ze tych trzech prawdopodobieństw wynosi 1,00. Podobnie, jeżeli dany element iu!c do B_:. jakie jest prawdopodobieństwo, że należy on do A,. A_: lub A,? W i wypadku p(A_xIB>) = 0.00. p(AJB^) = 0.25 i p(AJB_:) = 0,75. Poww> prawdopodobieństwa warunkowe można zapisać w formie tabeli:

Ai	A:	Ai
0,67	025	0.08	IjOO
0.00	0.25	0.75	1,00

Podobnie prawdopodobieństwo warunkowe H pod warunkiem A

6.5. Dodawanie i mnożenie prawdoprnlohieństu

Przy rzucaniu kostką istnieje sześć możliwych przypadków Jeżeli jesteśmy przygotowani do przyjęcia założenia, ze przypadki tc są jednakowo możliwe. u> prcwdopcdo-bieństwo uzyskania 1. 2. 3. 4, 5 lub 6 w jednym r/ucic wynosi 1/6 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania I. 2 lub 3 w jednym rzucie'' Prawdopodobieństwo uzyskania 1 wynosi 1/6. prawdopodobieństwo uzyskania 2 wync™ |/6. prawdopodobieństwo uzyskania 3 również wynosi 1/6. A zatem prawdopodobieństwo uzyskania 1. 2 lub 3 wynosi 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2. W tym przykładzie mamy do czynienia z dodawaniem prawdopodobieństw. Ilustruje on twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw. Twierdzenie to powiada, że prawdopodobieństwo wystąpienia kuire cokolwiek Z pewnej liczby zdarzeń wzajemnie wykluczających ri( jest sumą prawdopodobieństw poszczególnych zdarzeń z osobna. ..Wzajemnie wykluczające się" znaczy, ze jeżeli występuje jedno zdarzenie, to pozostałe nie mogą wystąpić Tak więc zdarzeniami wzajemnie wykluczającymi się są zdarzenia, które nie mogą wystąpić jednocześnie Rozważmy kilka dalszych przykładów dodawania prawdopodobieństw Przy rzucaniu dwiema monetami są możliwe cztery zdarzenia OO. RR. OR. RO. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dwóch orłów lub dwóch reszek przy rzutach dwiema monetami'’ Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch ortów wynosi 1/4. prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch reszek również wynosi 1/4. A zatem prawdopodobieństwo uzyskania albo dwóch orłów, albo dwóch reszek wynosi 1/4 +1/4 = 1/2. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze przy rzutach dwiema kostkami uzyskamy liczby, których suma wynosi 3? Prawdopodobieństwo wyrzucenia na pierwszej kostce 1. a na drugiej 2 wynosi 1/36. Prawdopodobieństwo wyrzucenia na pierwszej kostce 2. a na drugiej I również wynosi 1/36. Zatem prawdopodo-bieństwo uzyskania I i 2 lub 2 i I wynosi 1/36 + 1/36 = 1/18 Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzutach dwiema kostkami, uzyskamy 7 lub 11 ’ Gdy spojrzymy na zbiór możliwych wyników przy rzutach dwiema kostkami, przedstawiony w podrozdziale 6.3, zauwa2ymy, ze 7 może pojawić się na 6 różnych sposobów Zatem prawdopodobieństwo uzyskania 7 wynosi 6/36. 11 może pojawić się na 2 różne sposoby. Zatem prawdopodobieństwo uzyskania 11 wynosi 2/36. Wobec tego prawdopodobieństwo uzyskania 7 lub II wynosi 6/36 + 2/36 = 8/36.

Rozważmy dobrze potasowaną talię 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wyciąganiu jednej karty z talii wyciągniemy asa. króla, damę lub waleta pik. Prawdopodobieństwo, że karta jest asem pikowym wynosi 1/52. Prawdopodobieństwo. że karta jest królem pikowym wynosi 1/52. damą pikową 1/52 i waletem

106

107