Capture094

X		P
2	40	0.40
3	50	050
4	10	ono
lUwni	100	1.00

Waitość oczekiwana .V. czyli EOO, wynosi 2 x 0.40 + 3 x 0.50 ♦ 4 x o. u, _ Zwróćmy uwagę, ze £<X) jeM również średnią A’ otrzymaną przez p,,_n!I wartości X przez liczebno# A i podzielenie przez całkowitą liczebno-., _(> rzecz biorąc, oczekiwana wartość średniej £(A) jest średnią / populacji _{(J s}. styka jest oszacowaniem obnażonym. gdy jej wartość oczekiwana mc jcm _r wartości w populacji, lecz odbiega od niej w sposób systematyczny. N.. p_r/._kf1 można wykazać, żc wartość oczekiwana wariancji, zdefiniow ana jako \ = y, X)'/N nie jest równa a², lecz a^:{N - 1 )/N. Zatem zdefiniowana w ten . wartość wariancji, której pojawienia się możemy oczekiwać przy bardzo du/_t czbic prób. jest obciążonym oszacowaniem o⁴.

O metodzie oszacowania mówi się. że daje oszacowanie spójne, jc/cli I cowanie to coraz bardziej zbliża się do parametru populacji w miarę w/ru._tj czebności próby. Takim oszacowaniem spójnym jest na przykład średnia ^;~_x tyczna, ponieważ wykazuje ona tendencję do zbliżania się do parametru popui.. w miarę wzrostu liczebności próby.

Efektywność metody oszacowania pozostaje w związku z jej wariancja / r,-. by. Względna efektywność dwóch metod oszacowania wyraża się stosur.i -dwóch wariancji z próby, przy czym wariancję większą umieszcza się w mun . niku. Na przykład, gdy rozkład pewnej zmiennej w populacji jest s\me;r\..- i i jednomodalny. wówczas zarówno średnia, jak i mediana są oszacowaniem samego parametru populacji, p. Wariancja z próby średniej wynosi o; - r^: s mediana zaś <r_m> = 1.57<r/A'. Efektywność względna wyraża się więc wzore-

Efcktywność względna =

l,57o-W

iio.nl

Zatem w przypadku tego typu populacji średnia jest bardziej efektywna um/c; mediana. Znaczenie efektywności względnej najlepiej jest wyjaśnić w kategorur. liczebności próby. Mediana obliczona w próbie 100 przypadków ma wariancie u«i samą. juk średnia obliczona w próbie 64 przypadków. Średnia jest oszacowania ekonomicznicjszyro — wybranie jej zamiast mediany pozwala zaos/częd/k przypadków na 100.

Dana metoda oszacowania jest wystarczająca, jeżeli jest bardziej ełckt\\-j aniżeli jakakolwiek inna metoda oszacowania, czyli jeżeli jej wariancja z próbę •' mniejsza. Wystarczająca metoda oszacowania wykorzystuje wszystkie intonuje< jakie zawarte są w próbie. W tym kontekście pojęcie informacji ma ścisłe znac/er.i matematyczne

1(1.3- Kocimi <

(Mltwfag* '«*^fc,d 'P^w*y***ii«j nylmttyow, srw„„_ł„|,_(m> „ _M do |Kmuc< ouonąln,, w miurc    lic«tH„<c, _nic/jk/mc ^

^,eJ™^J‘^,<' •* ^<™^d*» ">'*"« m . p^uc, _v «, proNcmy Ro„«r«„,_t ,_yth pm***.

, omdwicni. '■'«“**<»¹    «• '«"*« >k->k    _w

u^go rozkładem /.

Rozważmy populację normalna o fecdnicj u , wariancji <r Wsuncj* :../kb«j_u , raSby łrcdnich pobrań) eh ź te, popotacji wynos, o? -- rrm Konkrctn, ś«dm, Jf / lej populacji można wyrazić w postaci standardowej naucpujaco

(1021

z - —^

O;

Stosunek ten to po prostu odchylenie średniej / próbs ji podzielone przez odchylenie standard.»w_C rózkladu , _rr ^ ^

y ma rozkład normalny, to z również ma rozkład nomulm J. ' '

" '•«*....... _M, TZ,XZ\::;':

^RMl *°? ^odj'^{C,C M}    * ' podadn. k*de, _nbe.

P“* Oś nie wpływu na fcszuh rozkludu Pmkwułcemc to p, no J    ?

,„dni, na O a odchylenie stUitardowc na I. Nie «_wc „_{ę tó} , ^ kształtu rozkładu.    ^m ****

W praktyce o-’ jest ewyklc nieznane , rosiujc _Mzxo»ane na podstawa- u. mch za pomoc, me obcwonepo wskaźnika Dla każde, probs ,Hzzsma_Kms palno oszacowanie wariancji rozkłada z prńb>. które w każde, pn*,e L '    '

oraz blad standardowe Analogicznie do siosunko ; oirzymujems iu

(10.31

Si

Stosunek ten. zwany stosunkiem f. zawiera mc jedna, lecz dwie wartości oszacowane. X i fi. Obie te wartości sq ró/jie prz> wielokrotnym pobieraniu prób W rezultacie (matematyczne wyprowadzenie jest tu dość skomplikowane* sprawia ta ze rozkład t nie jest normalny, aczkolwiek zbliza się do postaci normalnej wraz ze wzrostem N.

Rozkład r odbiega znacznie od postaci normalnej u przypadku małego S Na przykład, jeżeli pobierzemy 100 prób o liczebności 5 elementów z populacji normalnej o średniej jt i wariancji <r i otrzymamy 100 wartości /. to rozkład liczebności tych 100 wartości r me będzie normalny. Będzie on się zbh/ał Ls/uł-icm do rozkładu symetrycznego o nieco grubszych krańcach ani/ch rozkład normalny.