CCF20090120087

więc następująca: podzielić zmianę drogi przez zmianę czasu. Wyrażona w symbolach średnia A y

prędkość równa się

W ten sposób możemy jednak znaleźć jedynie prędkość średnią; my zaś szukamy prędkości w dowolnej chwili. Jeżeli na kogoś wpadnie samochód jadący z prędkością 60 km na godzinę, to dla wdowy po nim będzie mało pocieszające, gdy dowie się, że w ciągu ostatniej godziny prędkość średnia samochodu wynosiła tylko 10 km na godzinę, gdyż kierowca większość tej godziny spędził w barze. Istotną rzeczą jest nie średnia prędkość w ciągu ostatniej godziny, tylko prędkość faktyczna w momencie wypadku.

Ale prędkość w chwili wypadku nie będzie się wiele różniła od średniej prędkości w ciągu poprzedzającej go dziesiątej części sekundy. Będzie ona różniła się jeszcze mniej od średniej prędkości obliczonej dla ostatniej tysięcznej części sekundy. Inaczej mówiąc, rozpatrując średnią prędkość dla coraz mniejszych odcinków czasu, będziemy coraz bliżsi -— z dowolną dokładnością — prawdziwej prędkości. Dla większości celów praktycznych średnią prędkość w ciągu tysięcznej części sekundy można traktować jako prędkość dokładną.

I właśnie dlatego matematycy uznali za użyteczne oznaczać prędkość symbolem podobnym do symbolu prędkości średniej. A jest greckim odpowiednikiem dużej litery D. Nie możemy Ay

symbolu użyć w nie zmienionej postaci na

oznaczanie prędkości, ponieważ średnia prędkość dla krótkiego przedziału czasu, choć bardzo bliska prędkości prawdziwej w określonym momencie, nie jest jej nigdy dokładnie równa; oznaczanie tym samym symbolem dwóch różnych wielkości prowadziłoby do nieporozumień.

Ale dla przypomnienia, w jaki sposob pojęcie średniej prędkości pomogło nam znaleźć prędkość dokładną, zastępujemy literę grecką A przez łacińskie d i prędkość oznaczamy przez

Na razie nie wyjaśniamy, co oznaczają oddzielnie symbole dy i dx. Po prostu traktujemy ~~ jako symbol, którego można używać zamiast y' na oznaczenie prędkości.

W zagadnieniach mechaniki prędkość oznacza się zwykle przez V.

Proces znajdowania, jak szybko zmienia się pewna wielkość, nosi nazwę różniczkowania. Różniczkując y otrzymujemy jego tempo zmiany (albo prędkość), czyli y'>~j~>V. Różniczkując x² otrzymujemy 2x.

Proces ten można kontynuować. Gdy rozpatrywaliśmy kamień staczający się z góry zgodnie ze wzorem y = x², stwierdziliśmy, że jego prędkość ustawicznie wzrastała. Można by zapytać: „Jak szybko wzrasta ta prędkość?” Odpowiedź jest prosta. Prędkość kamienia, V, po upływie x sekund dana jest wzorem V — 2x. Mamy więc na V bardzo prosty wzór i łatwo znaleźć VIstotnie V' — 2. Prędkość rośnie w sposób jednostajny; wzrasta ona o 2 w ciągu każdej sekundy. (Sprawdź ten wynik na podstawie wartości V w tata. 10)

Ponieważ V oznacza to samo co y', więc naturalną jest rzeczą oznaczyć V' przez y". Symbol y" nie wnosi nic nowego, y oznacza zmianę wielkości y; y" przedstawia tempo, w jakim zmienia się y . W rozdz. 8 mając dane Ay znaleźliśmy A²y powtarzając po prostu działanie wykonane w celu znalezienia Ay przy znanym y. To sarno robimy w tym przypadku. Wychodzimy od y. Jak szybko y rośnie? Odpowiedzią

177

12 Matem, nauką przyj.