CCF20090120094

12.    Podać y' w następujących przypadkach:

a) y — x^z, b) y = 2x², c) y — 2x²+l, d) y =    x²,

e) y — x, f) y = x²+x, g) y = x²+x+l, h) y = x^s +

— 1, i) y = x—x², j) y — 1 x², k) y = x³, 1) y — 2x³, m) y = 2x³+x n) y — 2x³-rl, o) y = 10x³—20x² + 7x—3.

13.    Stwierdziliśmy, że gdy y = x², to y' = 2x, a y" = 2. Należy sporządzić tabele podające wartości y, y', v", Ay i A²y dla x ~ 0, 1, 2,...10. Można stwierdzić, że: a) tabela wartości y' jest podobna do tabeli wartości Ay, ale nie jest z nią identyczna, b) tabela A²y jest identyczna z tabelą y".

14.    Jeżeli y = X³, to y' = 3x², a y" =6x. Należy sporządzić tabele dla wartości y, y', y", Ay i A²y. Czy jest prawdą, że: a) y' zachowuje się podobnie do Ay, b) y" zachowuje się podobnie do A²y?

15.    Jeżeli w wyniku rozwiązania jakiegoś zadania Czytelnik znajdzie wzór na y\ które zachowuje się zupełnie inaczej niż Ay ((np. y' systematycznie wzrasta, a Ay systematycznie maleje), to czy "będzie uważał, źe pomylił się gdzieś, czy nie? A jeśli odnosi się to do y" i A²y? Czy należy oczekiwać, że wielkości te będą zawsze równocześnie wzrastały lub malały?

OD PRĘDKOŚCI DO KRZYWYCH

„Nasz ziomek, dr Joule..,. przytaczał przykład morświna osiągającego prędkość ponad trzynastu mil na godzinę, podczas gdy drapieżne ryby są tak zbudowane, że mogą osiągać znacznie większe prędkości. Zalecał on osobom, pragnącym osiągnąć powodzenie przy budowie statków, studiowanie naturalnych proporcji”.

Bosdin Leech History of the Manchester Ship Canal

dy

Do tej pory traktowaliśmy y lub ~ po prostu

jako symbol prędkości poruszającego się punktu. Dla wielu ważnych zastosowań jest to zupełnie wystarczające. Ale są jeszcze zastosowania innego rodzaju. Istnieje wiele zagadnień, w których można stosować rachunek różniczkowy dla opasu kształtu. Można .np. znaleźć krzywą, jaką tworzy wiszący łańcuch, którego końce są zamocowane, albo sposób, w jaki rozkłada się naprężenie na moście. W żadnym z tych zagadnień nie ma w ogóle mowy o ruchu.

Bardzo łatwo można przetłumaczyć nasze odkrycia dotyczące ruchu na stwierdzenia dotyczące kształtu. Każdy rodzaj ruchu można łatwo przedstawić za pomocą krzywej. Rozpatrzmy proste urządzenie pokazane na ryc. 31. Zakładamy, że koniec ołówka porusza się w szparze AB. Przed szparą umieszczona jest kartka papieru, która przesuwa się ze stałą prędkością z prawa na lewo. Ruch ołówka zostanie, rzecz.

191