Image08

14

2.22. Obliczyć pracę wykonaną po górnym łuku okręgu o środku (1/2, 0) między punktami P_t (x, y) = (1, 0) i P₂ (x, y) = (0, 0) w polu siły:

F(x, y) = ( — e^x cosy, e^x siny).

2.23. Obliczyć pracę wykonaną przez siłę F(x, y, z) = (x^z + y , xyz, z² + 3x) przy przejściu od punktu P_i (x, y, z) = (—1, 0, 0) do punktu P₂ (x, y, z) =(1, 0, 0):

a)    po prostej wzdłuż osi x,

b)    po półokręgu w płaszczyźnie xy.

2.24. Wykazać, że w każdym polu potencjalnym składowe działających w nim sił (klasy C¹) muszą spełniać związki:

8FZ	dFy	8FX	dF,	dFy	8Ft
dy	dz '	dz	dx ’	w dx	dy

za-

2.25. Praca związana z przesunięciem jakiegoś ciała po dowolnym, mkniętym torze, w pewnym potencjalnym polu sił, mierzona w inercjalnym układzie odniesienia wynosi W— 0. Czy w dowolnym innym układzie inercjalnym będzie spełniona analogiczna równość W — 0?

2.26. Dla którego z następujących pól sił, danych składowymi wektora natężenia pola K, praca nie zależy od drogi:

a) K_x = ye~^xyz, K_y = xe~^xyz, K_z = ye~^xyz,

b) K_x = (x²y + 2x + yz + z)e^xy, K_y = (x³ + xz)e^xy, K_z = e^xy,

c)    K_x = xz cosy, K_y = — - x² z siny, K_z = 0,

d)	Kx ■-	= y(xz	- l)e	^K, = -	xe ^xz,	K, =	x^2e^xz,
"e)	Kx --	- =	-- 0, Kz =	= -g.
0	Kx =	- — kx,	Ky = -	ky, Kz =	— kz,	gdzie k	= const,
g)	Kx -	= siny,	Ky = x	cosy, Kz	= 1,
h)	Kx -	= yz,	Kf = xz,	X II u
		OL X	CL	V	a z	gdzie a
i)	Kx =	2 ^9r r	II U	II	2 ^9r		— const.

Wyliczyć potencjały dla pól zachowawczych.

2.27. Potencjał pewnego pola dany jest wzorem

9

gdzie a i b - stałe dodatnie.

a.    Znaleźć siłę działającą w tym polu na cząstkę o masie m.

b.    Znaleźć punkty równowagi.

ożna przedstawić z dość dobrą

2.28. Oddziaływanie między nukleonami dokładnością przez potencjał Yukawy:

gdzie:

a.

b.

V_o = 50 [MeV], a = 1,5 • 10"¹³ [cm].

Obliczyć siłę F (r) działającą na cząstkę o masie m.

W jakiej odległości siła ma wartość równą 1% swej wartości dla r

= r

O

2.29. W jakiej odległości między dwiema cząsteczkami nie będzie działała żadna siła, jeżeli energia potencjalna tego układu dana jest wzorem:

gdzie q i k - stałe.

2.30. Mamy następujące pola sił:

K_z = K_z =

smz,

siny,

a) K_x = 0, K_y = a,

b) K_x = a, Ky = 0, gdzie a jest stałą dodatnią. Niech ciało o masie m znajduje się w punkcie jc = y = z = 0w chwili t₀ w spoczynku. Znaleźć energię kinetyczną tego ciała w punkcie x = y = 1, z = tt/2, dla tego z pól a i b, dla którego jest to, przy podanych danych, możliwe.

2.31. Punkt materialny A odpychany jest przez stały punkt B z siłą proporcjonalną do ich wzajemnej odległości. W chwili t = 0 odległość AB = 0, a prędkość punktu A jest równa v_Q. Znaleźć ruch punktu A korzystając z:

a)    równań ruchu,

b)    całki energii.