Image60

118

.Vs ^— C₂,

gdzie: C_lt C₂, C₃ - stałe, które wyznaczymy z warunków początkowych,

określających położenie środka masy w chwili t — 0

Mamy stąd:

Cl = x°_s,

^ci = y%

y; =

_ ^ml	X!	4-	m2x2	4-	m3	*3
	mi	4-	m2	4-	m3
_ ^ml	y 1	4-	^m2>^,2	+	^m3	J>3
	mi	+	m2	4-	m3
_ ^ml	^2i	+	m2z2	4-	^m3	^Z3
		4-	m2	4-	^m3	•

i ostatecznie

+ *

t¹ =

F

-0,17 • 10"¹ [m]

y. = y°s = 2 • 10-¹ [m]

=

-1,2 • 10'¹ [m]

2.78

a. Jeżeli układ współrzędnych obierzemy tak, jak na rys.36, to ze względu na symetrię środek masy znajdzie się w punkcie P o współrzędnych (0, yj, gdzie

współrzędna

_ j

* \dm

Elementarną masę znajdujemy przechodząc do współrzędnych biegunowych

dm — pdS =

m

^ tcK¹ 2

dx dy = r dr dcp

^y nR¹

Wtedy

ys =

R TL

2

nR

r² siiup dr d(p — -

o o

4 R

3 71

b. Obierzmy początek prostokątnego układu współrzędnych w wierzchołku stożka, a oś y skierujmy wzdłuż wysokości stożka (rys.37). Wtedy ze względu na symetrię mamy

oraz

y* =

= Z, = 0,

3

J?

y³dy =

O

■

ponieważ

x : y = r : h,

Rys.37

a stąd

X =

h^y

c. Środek masy znajduje się w punkcie o współrzędnych

3

8 ^R

d. Zgodnie z rys.38 poszukiwany środek masy znajduje się w punkcie P o współrzędnych ( — x_s, 0). Wartość x-owej współrzędnej tego punktu znajdziemy

łatwo, jeśli rozważaną powierzchnię

podzielimy na krążek o promieniu ^ o

L

środku w punkcie P_x, będącym także jego środkiem masy oraz na część, która ze względu na symetrię ma środek masy w punkcie P_Q, tj. w środku prostokąta o bokach a, b. Przesuwając wtedy początek układu współrzędnych do wypadkowego środka masy układu Rys.38    (punkt P), mamy

1

m_l 4- m₂ 4- m