img076

246 V. Mc loda reprezentacyjna

Przykład 1, W pewnym małym mieście liczącym 10000 mieszkańców należy oszacować procent mieszkańców chorych na choroby reumatyczne. W tym celu wylosowano zależnie próbę 300 osób i po poddaniu ich badaniom lekarskim okazało się, iż 56 osób jest chorych na te choroby. Przyjmując współczynnik ufności l-^^=0,99 zbudować przedział ufności dla szacowanego procentu chorych mieszkańców tego miasta.

Rozwiązanie. Ponieważ A^T=10000 i próba jest duża, bo n = 800, przedział ufności dla frakcji p chorych mieszkańców wyznaczymy ze wzoru j (5.9) podanego w modelu J. 2 tablicy rozkładu A^r(0, I) dla 1-a=0,99;

odczytujemy wartość w,=2,58. Z próby mamy

.. ¹

m 06    m

800 :0,0651,

=0,07,    1---0,93,

I    1 J 1

-------- =0,00115.

n N 800 10000

7(-7h

Otrzymujemy zatem następujący przedział ufności dla frakcji p:

0,07-2,58 nOToOI 15 0,0651 < p <0,07-f 2,58 V0,00115 0,0651,

skąd

0,07—0,022 < p < 0,07 4- 0,022,    czyli 0,048 <p <0,092.

Zatem przedział ufności dla szacowanego procentu chorych ma postać

4,8%<p%<9,2%.

Pjłzykład 2. W pewnym mieście liczącym 50000 mieszkańców należyj oszacować odsetek mieszkańców w wieku 50 - 60 lat. Jak wielką należy brać próbę mieszkańców tego miasta losowanych zateżnie, by oszacować nieznany procent mieszkańców w tej grupie wieku, który jest rzędu 10%, z maksymalnym błędem 1 % przy współczynniku ufności 0,95?

Rozwiązanie. Ponieważ spodziewana frakcja jest rzędu p= OJ, czebność próby wymaganą dla oszacowania jej z błędem — 0,01 moi obliczyć według wzoru (5.10) podanego w modelu 11, Dla współczynnil ufności 0,95 mamy z tablic rozkładu normalnego wartość u_fl = l,96, sl ni = 3,842; ponadto </* =0,0001, pą = 0,1 • 0,9 = 0,09. Podstawiając te wal tości do wzoru (5,10), otrzymujemy szukaną liczebność próby

- i⁰⁰⁰⁰- =3234.2,3235. I +14,46

50000    50000

n —

1 +

1 +

0,3458

O.oOOl • 50000 1.842 -0,09

Żalem w cela oszacowania frakcji mieszkańców tego miasta w wieku 50 - 60 lat 7 żądaną z góry dokładnością, należy wylosować zależnie 3235 mieszkańców Jego miasta do próby.

Na marginesie zwrócimy uwagę, że gdyby zastosowano losowanie niezależne próby, lo wyznaczona ze wzoru podanego w § i.4 wymagana liczebność próby przy tych samych warunkach byłaby większa, tj. wynosiłaby n - 3458.

Przykład 3. W pewnej uczelni liczącej 5000 studentów należy za pomocą ankiety oszacować nieznany procent studentów, którzy kiedykolwiek by]j za granicą. Ilu studentów tej uczelni nalc/y wylosować zależnie do próby, by przy wspófcżMimku ufności 0.90 oszacować nieznany odsetek studentów, którzy byli ża granicą, z maksymalnym błędem 4%?

Rozwiązanie. Ponieważ spodziewanego rzędu szacowanej frakcji p rie znamy, więc stosujemy drugi podany w modelu II wzór (5.11? na wymaganą wielkość próby. Mamy dla i-2=0,90, «,= 1.645. **' = 2.706, ń=0.04. r/² = l).00l6, S-5000. Podstawiając te wartości dc wzoru (5.11)

mamy

K ~

5000 ' 1+71783

5000

4 • IJ,;)i)K. - iUUI) J '06

389,7% 390.

Należy zatem przeprowadzić ankietę wśród /j=39C wylosowanych zależnie studentów.

Zadania

5.11.    W populacji 33600 kółek rolniczych wylosowano zależnie do próby 3000 kółek i zbadano je zc względu na ilość zrzeszonych w nich indywidualnych gospodarzy. Otrzymano w tej próbie 320 kółek, które grupowały wszystkich indywidualnych gospodarzy danci wsi. Przyjmując współczynnik ufności 0.90, zbudować przedział ufności dla frakcji kółek, zrzeszających wszystkich indywidualnych gospodarzy danej wsi.

5.12.    Z populacji 200000 abonentów telewizyjnych wylosowano zależnie 2000 abonentów i przeprowadzono z nimi badanie ankietowe dotyczące oceny programu telewizyjnego. 1300 abonentów uznało w tej ankiecie, iż program telewizyjny jest bardzo ciekawy. Przyjmując współ-