lastscan42

e'^c = 1.24,

i otrzymujemy r_c = ln 1,24 = 21,51%. Wartość F na koniec roku 2 obliczamy w tym przypadku jako    ,

F = lOOOe⁰-²¹⁵' ² = 1537,60 zł.

Ponieważ użyliśmy stopy równoważnej, jest to wartość identyczna jak poprzednio.

Wszystkie warianty oprocentowania składanego rozpatrywane w tym przykładzie są równoważne, zatem odsetki od dowolnego kapitału początkowego (a nic tylko od kapitału P = 1000 zł) naliczone za dowolny czas (a nie tylko za n = 2 lata) w-edług każdego z tych wariantów będą miały identyczifą wartość.

■

Do rozstrzygnięcia pozostał jeszcze problem równo ważności stóp oprocentowania składanego i prostego. Ograniczymy się przy tym do równoważności podokresowej stopy oprocentowania składanego i_k oraz rocznej stopy oprocentowania prostego r, pamiętając z punktu 1.5 łatwy sposób sprawdzenia równoważności rocznej i podokresowej stopy oprocentowania prostego. Ponownie odwołujemy się do zasady równoważności stóp procentowych, podanej w rozdziale 1, na mocy której stopa oprocentowania składanego i_k oraz stopa oprocentowania prostego r są równoważne, jeśli przy każdej z nich kapitał początkowy P przyjmuje tę samą wartość F po czasie n. Przy oprocentowaniu składanym o stopie i_k wartość F jest dana wzorem

F" = P(l + iJ*,

a przy oprocentowaniu prostym o stopie r

F^2> = P{\+m).

Równość Fⁿ = F²⁾ zachodzi wtedy, gdy

(1+i*)* = 1 + m.    (3.38)

Powyższa równość jest formalnym warunkiem równoważności stopy oprocentowania składanego i_k oraz stopy oprocentowania prostego r. Jak widać, w otrzymanym warunku nie występuje P, zatem równoważność badanych stóp nie zależy od wartości kapitału poddanego oprocentowaniu. Jednakże, co również można łatwo zauważyć, przy danych stopach i_k oraz r równość (3.38) zachodzi tylko dla jednej dodatniej⁷ wartości n. A więc stopy i_k oraz r są równoważne tylko w okresie n o ściśle określonej długości, będącej rozwiązaniem równania (3.38).

Jeśli stopy oprocentowania składanego i prostego są równoważne w czasie n. to nie są równoważne w czasie ri =* n.

’ Zgodnie / konwencją przyjętą w tej książce, nic rozpatrujemy przypadku *tóp procentowych o wortoiciuch ujemnych lub zerowych.

Warto zapamiętać* ten wniosek dotyczący równoważności stóp oprocentowania

ładanego i prostego, ponieważ - jak pokazaliśmy wcześniej - jeśli dwie stopy matowania składanego są równoważne (nicrównoważne) w czasie n. to są że równoważne (nicrównoważne) w dowolnym czasie n * n.

Przykład 3.15

W przykładzie 3.14 rozpatrywaliśmy trzy równoważne warianty oprocen-ania składanego. Obliczymy teraz stopę oprocentowania prostego równoważną w czasie 2 lat. Do warunku (3.38) podstawiamy k oraz i_k z dowolnego wariantu sentowania z przykładu 3.14, np. k = 1 oraz r, = 24%, a także ustaloną ość zmiennej czasowej n = 2. Rozwiązujemy otrzymane w ten sposób równanie

(1 + 0.24)² = l+2r.

ł którego wynika, że r = 26.88%. Obliczone przy tej stopie dwuletnie odsetki >ste od kapitału P = 1000 zł wynoszą

/ = 1000 0.2688-2 = 537.60 zł

i mają taką samą wartość jak odsetki obliczone w dowolnym wariancie przykładu 3.14.

I

3.6. Stopa efektywna

Stopą efektywną nazywa się stopę oprocentowania rocznego równoważną :j stopie oprocentowania składanego. Stopa efektywna umożliwia łatwe wnywanie różnych warunków oprocentowania, ponieważ pozwala zapomnieć jlokrotncj kapitalizacji odsetek, dokonywanej po każdym podokresie. Bez lędu na to, jak często odsetki podlegają kapitalizacji, można powiedzieć, co tępuje.

Stopa efektywna oznacza, o ile procent zwiększa się wartość kapitału

w ciągu jednego roku.

Stopę efektywną oznaczamy przez r_rf. Przy oprocentowaniu danym stopą roczny czynnik oprocentowania wynosi 1 + r_rf, a przy oprocentowaniu tresowym danym stopą i_k wynosi (I +zatem stopa r_cf jest rozwiązaniem nania

/ którego wynika, że

1 +/*<* = (1 +ik)^k>

r,_t - (1 +i*)^ł-l.

(3.39)

93