matma0052

b) Odsetki po 2 latach 7(4) = 20 000* [(1,12)⁴ - 1 ]= 20 000 • 0,57352 = 11 470,4 a uzyskany kapitał po dalszych 2 latach F(4) = 20 000 +7(4) = 31 470,4 zł. tem stratę stanowi różnica F(8) - [F(4) + 7(4)] = 49 519,3 - (31 470,4 + 11 470,4 = 6 578,5 zł.

D. Można wykazać, że przy oprocentowaniu składanym z daną NSP r zwi szanie liczby podokresów kapitalizacji powoduje wzrost kapitału końcowego upływie roku. Ilustruje to następujący przykład.

Przykład 1.4.7

Należy obliczyć wielkość kapitału końcowego po roku przy oprocentow składanym z kapitalizacją: półroczną, kwartalną, miesięczną, gdy NSP r = 16%.

SP proporcjonalna dla każdego z trzech sposobów oprocentowania wynosi od wiednio: r₂ = 8%, r_Ą = 4%, r₁₂ = 1,333%. Zatem przy danym kapitale począt wym P mamy:

F₂(l) = P-(l,08)²    = 1,16640 -P,

F₄(l) = P-(l,04)⁴    = 1,16986-P,

F₁₂(l) = P-(l,01333)¹² = 1,17722-P, a więc F₂(l) < F₄(l) < F₁₂(l) .

Gdybyśmy w ciągu roku zaczęli zwiększać nieograniczenie liczbę okre^-kapitalizacji przy oprocentowaniu składanym z NSP, równą r, to w granicy o" mamy ciągle oprocentowanie zdeponowanego kapitału. Dla czasu oprocentow o długości t nagromadzony kapitał wyniesie:

k\

1 + 1:-

lim

fc-> C=

F(t) = lim P-|l +^j^kt = P-Stąd otrzymujemy:

F(t) = P'e^rł oraz 7(7) = P-(e^rf - l), dla t > 0.

Przy oprocentowaniu ciągłym czas oprocentowania nie musi już być całkowitą (krotnością okresów), ale może być dowolną liczbą dodatnią i d jego długość oznaczyliśmy przez t zamiast n .

Uwaga: Można pokazać, że przy danej SP wynoszącej r po upływie co najmniej dwóch o’ podstawowych wielkość uzyskanego kapitału przy oprocentowaniu prostym jest mniej