mech2 11

20

20

rzędnej

mego

Mianownik zależnośoi (1) równy jest współczynnikowi La-

qT	=	-23 i + _8z7+ -»S *
5q±		dq± Sq± dą^L

⁺fe)²⁺feT^=Hi

Związek (1) może być zatem przedstawiony w postaci

(2)

^a = '■*■»■

j

Warunek ortogonalnośoi krzywoliniowego układu współrzędnyob

*j = °

Ci 4 j).

(3)

Uwzględniając zależność (2), warunek (3) przyjmuje postać

dr

— = O (i 4'i).

dq

oo daje trzy równośoi

JiL .    O, j9r . _dr _{= 0}.

5r

dr

= o.

3q* ^q<i

(4)

dq₂    Sq₂- Óq^    uhj

arSBWBBKSK

Wyrażając wektor wodzący przez współrzędne kartezjańskie, zależność (ą) przyjmie postać

Bx ,	. +	.	. -^ +	-£2. .	Oz _	0,
3q^	dq2	0q^ (	Óq2		dq2
5x	-li +	-£X ,	. -^ +	Oz	d z	0,
dq2		0q2	3q3	dq2	9q?
dx ,	. -^ +	J^L .	■ lfix +	dz t	9z _	0.
9q5	5q1	Ć>q3	aq^	dq3	<9q1

(3)

Równania (5) przedstawiają analityczne warunki ortogonalnośoi krzywoliniowego układu współrzędnyob.

2. Sferyozny układ współrzędnych (rys. 8)

<5^ = r,    q_2 = 0 »    0.j ⁼ ? •

Linia współrzędnych (r) i oś [r] pokrywają się. Jest to prosta poprowa dzona przez początek układu i punkt li.Linia współrzędnych (8) jest okrę giem dużego koła poprowadzonego promieniem CM, oś [e] zaś - styozną d tego okręgu w punkcie H, skierowaną w stronę wzrostu kąta 6 .

Linia współrzędnych (?) jest okręgiem równoległym do promienia r sin oś [tpj zaś styozną do tego okręgu poprowadzoną w punkoie M i skierowań w stronę wzrostu kąta <p .

Wprowadzająo współrzędne kartezjańskie wyrażone przez sferyozne

x = r ain9 cos ? , y b r sin 8 sin q> , z = r cos 0

do układu równah (5) otrzymujemy

. -^2 ₊ -iii .    ₊ -2.5. . -iłl _{= r 8}i_n goos 0 (cos²? + sin²? ) -

di de dr de dr de

- r sin 0 oob 0 = b,.

dx	, dx + dr		. ^ +	ć) z óz	= r	2 2 sin 8 sin ? cos ? - r sin 9 sin ? cos ? «
Dr	d ?	Dr	ó ?	Sr 5?
	dx	9 x	+ -Z*	. -te +	9 z	S z 2 . - =-r o os 0o os? sin 8 sin ? +
	. de	d ?	d 0	d ?	D 0	S?

p

+ r cos 6 oos ? sin 0 sin ? = O.

Sferyczny układ współrzędnych jest więo ortogonalny.

Korzystając z zależności (1) oraz wyników otrzymanych w zadaniu K-4 otrzymujemy

= 1 . i, v_Q = H_e§_e = rś,    = 1^ = r sine - <J>,

T = £ (r² + r² e² + r² sin²0 ?²),

I

stąd