mech2 57

.12

Siła 7 przyciąga punkt U do Środka 0. Moduł siły Jest wprost proporcja nalny do odległości r od punktu do bieguna 0. W chwili początkowej ozaeu (t «* 0) punkt M znajdował się na osi 0x w odległośoi 10 m od po-o z ąt ku układu i. Jemu Je3t nadana prędkość początkowa 40 m/s skierowaną pionowo do góry. •

Rys. 70

Dane siły P i £ oraz wektor prędkości poozątkow9j leżą w płaszczyźnie xOz i dlatego dalszy ruoh punktu będzie zachodził w tej płaszczyźnie. Równania różniczkowe ruchu punktu materialnego będą miały postać

mić = 1, mz «s Z.

Suma rzutów sił na osie układu współrzędnych

X = P_x = - 4r o os <p ,

Z ="P_Z - G = - 4r sin q> - G .

Uwzględniająo, ża oosq> = x/r, sin<p = z/r, mamy

X c -4x,    2 = -4z - G.

Wykorzystująo otrzymane zależności i dane wyjściowe otrzymujemy

lub

X = -4x, *z =» -4 z - g

(1)

(2)

5c + 4x = 0 z + 4z = -g

i Równania (1) i ^.2) Bą liniowymi równaniami różniczkowymi drugiego rzędu zfe stałymi współczynnikami} pierwsze z nich jest 'jednorodne, a drugie i niejednorodne.

p

ftfanRDie charakterystyczne zależności (1):
u^2 + 4 = 0.		(3)
Pierwiastki równania charakterystycznego u^j2 = +2i, (i = yST).		W
Całka ogólna równania (1) ma postaćj x = cos 2t + C2 sin 2t.		(5)
góżniczkując (5) po ozasie, otrzymujemy: x = 2(-C1 sin 2t + C2 cos 2t) .		(6)
Stałe oałkowania i Cg znajdujemy z warunków początkowyoh
10 = oos 0 + C2 sin 0, 0 c 2(-0<l sin 0 + C2 cos 0), skąd Cn — 10, C2 a 0.		(7)
Poszukiwane równanie ruchu x - x(t)x x = 10 coa 2t.		(a:
Całka ogólna niejednorodnego równania (2) ma postać: ♦ * * z = z + z ,	H;	(9
z * jest oałką ogólną równania jednorodnego z + a 0,		(1C
z*^e jest oałką szozególną równania niejednorodnego (2). Równania (1) i (10) są analogiozne 1 dlatego oałka	ogólna	równan:
(10) ma postać: z = Cj oos 2t + sin 2t.		(1
Całkę szozególną z poszukujemy w postaci ♦ * z = A a const,.		('
Po podstawieniu (12) do (2), otrzymujemy: 0 + 4A = ^g, A = - J = -2,45,		(•
tak więo z = Cj oos 2t + Ca sin 2t - 2,45. ^1 y		('

i