Untitled Scanned 42

106

wykluczone, że y = x lub y = z). Wyrażenie 0(x, y, z, u) czytamy: punkt x jest tak odległy od punktu y, jak punkt z od punktu u.

Zbiór wszystkich formuł zdaniowych tego języka łatwo określić wzorując się na analogicznej definicji dla języka teorii mnogości. Łatwo się też domyślić, że trzeba przyjąć 10 aksjomatów charakteryzujących identyczność w obecnej teorii: pierwsze trzy będą takie same jak np. w teorii mnogości; następne trzy muszą zapewniać wymienialność równego przez równe pod predykatem M (na wszystkich trzech pozycjach); wreszcie ostatnie cztery muszą zapewniać wymienialność równego przez równe pod predykatem O (tym razem na wszystkich czterech pozycjach). Aksjomatów tych nic będziemy tutaj podawali, gdyż łatwo je napisać na wzór odpowiednich aksjomatów systemu Zcrmcla. Podamy natomiast dalsze aksjomaty, charakteryzujące bliżej relacje oznaczane przez predykaty M i O, a więc aksjomaty o treści istotnie geometrycznej. Aksjomaty te pochodzą od A. Tarskiego (1959).

11.    Aksjomat tożsamości dla A/

M(x, y, x) -* x = y.

12.    Aksjomat przechodniości dla A/

M(x, y. u) a M (y. z, u) Al(x, y, z).

13.    Aksjomat spójności dla M

M(x, y, z) a M(x, y, u) a n(x = y) -* M(x, z, u) v M(x, u, z).

14.    Aksjomat zwrotności dla O

0(x,y, y, x).

15.    Aksjomat tożsamości dla O

0(x, y, z, z) -* x = y.

16.    Aksjomat przechodniości dla O

0(x, y, z, u) a 0(x, y, v, w) -> 0(z, u. v, w).

17.    Aksjomat Pascha

M(x, t, u) a M(y. u, z) -* V [M(x. v, y) a M

V

1K. Aksjomat Euklidesa

JVf (x, u, t) a M (y,u, z) a i(x = u) -» \J \J [ Af (x,z, u) a M (x,y, w) a M(v,t, w)].

I? W