obraz4 2

16S

_ —i sin <pd(p _    —1    P sinędę

2yj7.R² J Vl~cos^ 2*j2R² «-*o J >/i—cos (p

§ 19- Całki powierzchniowe jest całką niewłaściwą, przy czym (Rcos <p—jR)sin ędę

(R² +R²—2R² cos tp)³

"27T?¹.ⁱ”^(Wl“^cos4 -^d?2S^(Vl -°^os"-'^/l-°^ose>⁼F-

Stąd

F_z=2npR² —~ — — 2np. R

Zauważmy, że jeżeli współrzędną F_z będziemy rozpatrywali jako funkcję zmiennej a, to

.    -4rt R^zp

lim F_z =0#F_I(a) = —2np i    hm F_z = lim ——s— = —Anp^FJja) = —2np.

t-*R~    a-*R⁺ o-*JR⁺ Cl

A więc siła przyciągania jest funkcją nieciągłą przy przejściu punktu przez powierzchnię kuli, przy czym wartość siły — 2np na powierzchni kuli jest średnią arytmetyczną granic

lim F_g i lim F_z.

o-*R-    a-*R+

250. Obliczyć całkę

Jj (x²+y²+z²)dxdy

po dolnej stronie koła: x²+y²—2x<0.

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru (8), ‘w którym:

JR(x, y, z)=x²+y²+z²,    z=g(x,y)=0,

D: (x-l)²+y²<l,    S~:    (x-l)²+y²<l,    _z=0.

"'Zatem

rt/2 2 cos ę>

f|(x²+y²+z²) dxdy = - J J (x² + y ²) dx dy    l dtp J (r² cos² + r² sin² tp)rdr~

S    D    — n/2 O

»/2

= —i j 16cos⁴ ędę— — frc.

251. Obliczyć całkę

-n/2

JJ x²z^zydxdz

po wewnętrznej stronie półkuli y= —\!r² — x²—z².

Rozwiązanie. Tym razem całkujemy po rzucie powierzchni S na płaszczyźnie 0x2, Przy czym postępujemy analogicznie jak w zadaniu poprzednim.

S—S⁺:    y-gi(x, z).=-^R²-x²-z², D_t: x²+z²<R².