Obraz 6 3

194

Wartość i_a odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy („- 2) stopniach swo body oraz przyjętym poziomie istotności cc.

Następnie na podstawie próby obliczamy wartość empiryczną sprawdzianu wykorzystując wzór:    ^    ^u>

gdzie r jest obliczoną na podstawie próby oceną współczynnika korelacii w zbiorowości (populacji).    ^J

Jeśli empiryczna wartość statystyki należy do zbioru krytycznego hipotezo o braku współzależności nuedzy cechami w populacji odrzucamy i przyimuierrw

tym samym, że współczynnik korelacji jest różny od zera.    ^{J y}

W wielu przypadkach istotne znaczenie ma nie tyle fakt występowania za leżności między cechami w populacji, ile poziom natężenia zależności miedzJ cechami mierzony wartością współczynnika korelacji. W tej sytuacji hipotezę zerowąH₀ oraz hipotezę alternatywną//, formułujemy następująco:    *

H₀: P = Po, //,: p^p₀.

W celu weryfikacji hipotezy zerowej wybieramy poziom istotności a.

Za spiawdzian hipotezy zerowej przyjmujemy zmienną losową definiowaną wzor-em:    ^

(

która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej podlega rozkładowi nor-

malnemu jV(0, 1).

Wykorzystując rozkład sprawdzianu, hipotezę alternatywną oraz poziom istotności budujemy zbiór krytyczny, otrzymując:    ^F

Z = (-°°, -«a> U («_a, eo),

gdzie u_a odczytujemy z tablic rozkładu normalnego N(0 1)

Biorąc pod uwagę wartość współczynnika korelacji r uzyskanego z próby

obliczamy wartość empiryczną sprawdzianu według wzoru:

^{1 +} Po__

1-Po 2(i

V

Jeśli wartość sprawdzianu należy do zbioru krytycznego, hipotezę, że współczynnik korelacji jest równy wielkości p₀, odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej na przyjętym poziomie istotności.

Przykład 6.11

Spośród pracowników produkcyjnych pewnej branży wybrano w sposób losowy 18 osób i zbadano je pod względem wydajności pracy (mierzonej w sztukach wytworzonego produktu na ustaloną jednostkę czasu) oraz wielkości wynagrodzenia. Współczynnik korelacji obliczony dla zbiorowości wylosowanych r = 0,915. Czy można twierdzić, na poziomie istotności a = 0,025, że pomiędzy wydajnością a wynagrodzeniem w badanej branży jest zależność korelacyjna dodatnia?

W celu sprawdzenia powyższego stwierdzenie formułujemy hipotezę zerową H₀ i hipotezę alternatywną/?] w sposób następujący:

H₀: p = 0,

H\. p > 0.

Biorąc pod uwagę hipotezę alternatywną oraz poziom istotności, otrzymujemy następujący zbiór krytyczny:

Z, = <2,120; co),

gdzie r₀,05 = 2,120 odczytaliśmy z tablic rozkładu r-Studenta, uwzględniając pc ziom istotności 0,025 oraz liczbę stopni swobody równą 16.

Wartość empiryczna sprawdzianu (6.33) jest równa:

9,059.

0,915    0,915

'""JR837    0,404

Ponieważ wartość empiryczna sprawdzianu należy do zbioru krytycznego, w hipotezę o braku korelacji między wydajnością a wynagrodzeniem w populc pracowników badanej branży na przyjętym poziomie istotności odrzucamy korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że zależność korelacyjna występ a współczynnik korelacji jest dodatni.

Opisywane powyżej procedury można wykorzystać, gdy o współzależn zmiennych decyduje wartość współczynnika korelacji. W innym przypadki weryfikacji hipotezy wykorzystuje się liczebności będące wynikiem grupc nia. Przyjmijmy, że wyróżniono r wariantów cechy X oraz s wariantów ceck Następnie budujemy tabelę o r wierszach i s kolumnach, otrzymując r-s k« rek. Numer komórki składa się z dwóch subskryptów; pierwszy oznacza i\