Picture3

I) V A a •• c a a <■" a a,

t*cK »«rR

Wolna pr/emicnności działania wystarczy wziąć pod uwagę tylko warunek u" c - <i.

a " c a f e + 2 a => e = -2.

O

I )/ialanic ma element neutralny e_a- -2.

4) A V a ° a' = e_o

•u- K <»'« R

a ° a' — a + a' + 2 = -2 => r/ = -a - 4.

Dla każdego a potrafimy wyznaczyć u' z powyższego wzoru.

Zbiór R z określonym w nim działaniem wewnętrznym „°” jest więc grupą przemienną.

Pr/.yklnd 3.5

W zbiorze R określamy dwa działania wewnętrzne:

a°b = a + b + 2, a □ b = ab + 2a + 2b + 2.

( zy struktura (R,    □) jest ciałem?

W przykładzie 3.4 sprawdzono, że (R, °) jest grupą przemienną. Należy wykazać, że (R\{—2}, □) jest grupą przemienną.

1)    A (a □ b) □ c = a □ (b □ c)

«,/>,ceR\j-2|

L = (ab + 2a + 2b +2 )c + 2 (ab + 2a + 2b + 2) + 2c + 2 I* = a(bc + 2b + 2c + 2) + 2a + 2 (bc + 2b + 2c + 2) + 2 L = P.

I atwo sprawdzić, że działanie jest także przemienne.

2)    V A aae-a a eaa = a.

«=R\i-2j «eR\{-2j

Wobec przemienności działania wystarczy wziąć pod uwagę tylko jeden z warunków definicji.

ae + 2a + 2e + 2 = a o e(a + 2) = -a - 2 o e_Q = —1.

3)    A V a □ a' = —1 a a' □ cr = -l

ueR\|-2! <?'eR\(-2)

aa' + 2a + 2a' + 2 = — I <=> a'(a + 2) = —3 - 2a <=> a' —-—— -

^v    a + 2

Na podstawie przeprowadzonych rozważań stwierdzamy, że (R\{-2), □) jest grupą przemienną.

Następnie badamy rozdzielność działania „i)" względem działania ,

A a □ (/>" c) (</11 b) ° (a a c)

fj

I. - on (b + c + 2) = o(/> + c + 2) + 2o + 2(/> + c + 2) + 2 I* - (o/i + 2o + 2A + 2) ° (oc + 2o+2c + 2) o/H 2a + 2h f2 + w • 2<i < .’< •

L = P.

Nic musimy badać drugiego warunku rozdzielności, ponieważ działanie j i ji i przemienne.

Przykład 3.6

Niech V = R oraz „©” jest działaniem wewnętrznym w V, gdzie:

X® y = (x_ux₂)® (yi,^2) = (jri + y\,x₂+y₂ + 2).

Określamy działanie zewnętrzne R x F-> V następująco: a * x = a * (*|, x₂) = (cuci, ax₂ + 2a - 2).

Wykażemy, że (V, ®, *) jest przestrzenią wektorową nad ciałem (R, t, •).

1° (V, ®) jest grupą przemienną, ponieważ:

a)    A (x®>^,)®z = jf©(y®z)

x,y\zeV

x,y, z e V => jc = (a-,, at₂), y = (y\,y2), z = (z,,z₂)

L = (ai + y\, x₂+y₂ + 2)® (z,, z₂) = ((xj +^) + z,, {x₂ +y₂ + 2) + z₂ + 2)

P = (a:,, a₂) © Oi + Zi,y₂ ⁺ z₂ + 2) = (xj +(y, + z,),x₂ + (y₂ + z₂ + 2) t 2)

L = P;

b)    A x®y=y®x

x,ye V

L = (X| +>^1, at₂ -+->^2⁺ 2) = Cvi +*|,.g2 + *2 + 2) = P;

c) V A e®x=^zx a x®e=x

cel' xeV

e e V => e = (e\, e₂) e ©* = (<?! + ATI, f?2    ^2 + 2) = (A|, A₂) = A

o

-t- A’! = A’! A e₂ + X₂ + 2 = X₂

o

e\ = 0 a e₂ = -2,

czyli e = (0, -2) jest elementem neutralnym działania „©” w V;