Picture9

1

( 5.9) u_M(l, 2) i u ,,(3,4)

( -I. IN) u,,(1,2) i u „(3,4) ( \ 11) u,,(l, 2) + «,,(3,4)

| 5 a |, + 3a,, b 2a_l( +4a,.

| 4 a,,+3a,,

118 2cx_|,+4a„

j-3 = a,j + 3a,,

111 = 2a_n +4u„

£7

2

~I9

fa_l2 =35 }a₂, =-13

^U22 =

Macierz przekształcenia '/ jest postaci:

^ull	^UI2	“u
&2I	a 22	^2^

47	35	45
—
2		2
19	-13	17
’ 2		2

Uwaga: Macierz przekształcenia liniowego wyznaczona jest jednoznacznie dopiero wtedy, gdy określimy bazy w odpowiednich przestrzeniach. W przypadku gdy nie podano baz. przyjmujemy, że są to bazy kanoniczne (standardowe). a więc w przestrzeni (R", R, +, •) wektory postaci e, = (I, 0,    0),

<’>    (0. I, 0,0).....e„ = (0,0, 1).

Przykład 5.4

Dane są przekształcenia liniowe:

T\ R —> R'    7’(.V|, ,v_?) = (cr_nX| + a_nx₂, £/2i*t + a₂₂x₂),

S: R -> R'    S(x\, x₂) = (/>i |X] + b_[2x₂, &2i*i + 622*2)-

Wyznaczyć przekształcenia: a) T+S,

« f-

c)    s- t;

d)    r¹

-1	&\2	11	'*1.	^12
^21	O 22		/>2j	^22

(o ile istnieją) oraz macierze reprezentowane przez przekształcenia liniowe: Ad a) M_r =

/ i .V: K' > K

r itf snuty

(T + .V)(.V|, x₂)    7'(-v,, x>) + S(x i, x₂) =

= (b||X| + </|2-V2, «2|A| +    + (/)||.V| + />|2*2j />:|V| I

= ((c/| | + £>||)X| + U> 12 + 6|₂)X₂, («2I + ^₂|)X| + (<>22 + b₂₂)X₂).

Łatwo zauważyć, że:

' 7 +.V

	+ 1_	^12 ^12		^au	"12	-f	A,	»o _1
	"21 + ^21	a 22 ^22		n _1	#22 .		A.	^h22.

= A/_y + A / _v.

R

Ad b) R²

g    r df mnóż. przakszi. przez licz |    |

— (JC|, X₂)    =    — S(xI, X₂) = - Ul11*1 ⁺ «I2*2> «2I*I + tlaXj)

= (0,5ć/hX| + 0,5«|₂X2, 0,5a₂₎Xi + 0.5a₂2*2)-Można zauważyć, że:

2	b\2 ~2~	_ 1	^hu	6,2	_ 1
|	^22	~ 2	A>	^22	~ 2
T	2

m_ł =

2

Ad c) 5® T: R²-» R².

z df złożenia przekszf.

(S ° T)(x\, x₂)    = S[T(x_u x₂)] = 5(a,iX| + «i₂x₂, a₂i*i + <'22*2)

= (/>||(£/|iXi + ĆJ|₂X₂) + ^12(^21*1 + ^a22*2), (^21(^11*1 ⁺ #12*2) + ^22(^21*1 ⁺ #22*.’))

Tak więc

= ((z/] l7>n ⁺«2I^12)*I + (#12^11 + #22^I2)*2, (#11^21 ⁺ <^2\b₂₂)X\ + (#12^21 + #22^27)*’)

-1	"ł" ^21 ^12	a,2i,|	A ^ 22^12		X	r3 j	^au	_Cł k> _1
«1I*2I	"ł” ^21 ^22	^12^21	•+• @22 ^22		^21	^22	&2\	Ci 22

Ad d) TR² -> R² istnieje wtedy i tyiko wtedy, gdy T: R² -*■ R jest bi-jekcją, tzn. gdy: a\ \a₂₂ -#₂i#i2 * 0.

y = T(x) <^> Cvi, y₂) = T(x_u x₂) = (#1 1*1 + #12*2, #21*1 + a₂2x₂)