Picture7

I Jeżeli w wyznaczniku zamienimy ze sobą miejscami 2 wiersze (2 kolumny), lo wartość wyznac/iiika /.mieni się nu pr/.eciwiu|.

I leżeli każdy element pewnego wiersza (kolumny) pomnożymy przez liczbę ///, lo wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez.///.

Jeżeli do elementów jednego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę, to wyznacznik nie zmieni swej wartości.

6" Wyznacznik macierzy diagonalnej i trójkątnej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej lej macierzy.

Obliczanie wyznaczników

Przykład 6.1

Wyznacznik stopnia 2:

I -2 3 2

= I • 2—(—2)-3 = 8.

Przykład 6.2

Wyznacznik stopnia 3 (metoda Sarrusa):

+ + +

1 - I • 1 • I + 2 • 2 • (-2) + (-1) • 0 • (-1) - [(-2) -1 - (—1) +

+ (-l)-2(-1) +1-0-2] = -7.

Przykład 6.3

Rozwijanie wyznaczników stopnia n > 3. 12    3-2

0 112 2 0-2 1 -II 0-3

A =

— 0-+ ] ■ A 2*> "t” 1 * 3 ~ł~2‘Ai ą

(rozwijanie wyznacznika względem drugiego wiersza)

1 3 -2		1 2 -2		1 2 3
2-2 1	+ l(-l)^2+3	2 0 1	+ 2 •( —1 )^2+4	2 0 2
-1 0 -3		-1 1 -3		1 1 0

13-2    12-2    123

2-21    201    202

= 1 [6+ 0-3-(-4+ 0-18)]-1 [0-4-2-(0 + 1 -12)] + 2-|0 + 6 + 4 (0 2 i 0)| = 44.

Ten sam wyznacznik obliczamy rozwijając go względem 3 kolumny:

\a\ — 3- A_i:i + 1 • A₂y — 2-    + 0 • A₄₃ =

0 1 2		12-2		12-2
2 0 1	+ l-(-l)*^+3	2 0 1	— 2 - (—1)^3+3	0 1 2
-1 1 -3		-1 1 -3		-1 1 -3

012    12-2    12-2

2 0 1    2 0 1    0 12

= 3■ [0 + 4-1 -(0 + 0-6)]-1 • [0-4-2-(0+1 -12)]-2• [-3+0-4-(2 + 2 4 0)| = 44.

Oczywiście, obliczanie tego wyznacznika można byłoby przeprowadźn rozwijając go także względem wiersza 1,3 lub 4 albo względem kolumny I. ’ lub 4. W każdym z tych przypadków wyznacznik stopnia 4 zostaje przedstawił) nyjako kombinacja liniowa trzech lub czterech wyznaczników stopnia 3. Liczba wyznaczników stopnia 3, którą należy policzyć, zależy od liczby zer w danym wierszu lub kolumnie, względem której rozwijamy dany wyznacznik. Zatem im więcej zer w wierszu (kolumnie), względem którego rozwijamy wyznacznik, tym krótsze obliczenia. Można także - korzystając z 5° własności wyznaczni ków - uprościć obliczenia „zerując” jak najwięcej elementów w danym wierszu (kolumnie), względem którego chcemy rozwijać dany wyznacznik. W naszym przykładzie będziemy się starali uzyskać 3 zera, najpierw np. w wierszu 3, a na stępnie np. w kolumnie 1. Stosowane przekształcenia (operacje elementarne) nic zmieniające wartości wyznacznika - będziemy zapisywać poniżej w sposób umowny, np.: zapis W| (-2) + wj oznacza, że wiersz 1 pomnożony przez ( 2) dodajemy do wiersza 3 (podobny zapis z literą £ odnosi się do kolumn ).