Picture2

1‘i /ykliid 7.5

3* - 2y + 5z = I • x + 3y-2z = -2 2x+y + 3r = -l.

	3 -2 5'		3 -2 5 f
II	-1 3 -2	, u =	-1 3 -2 -2
	2 1 3		2 13-1

N.i podstawie wymiarów macierzy zł i U wnioskujemy, że rzA<3 i rzć/<3. Ponieważ |/1| = 0 (nie jest to układ Cramera), rz A * 3. Tworzymy minory stopnia drugiego macierzy A, i tak np.:

7*0,

czyli ostatecznie rzA = 2.

Podobnie dla macierzy IJ:

	3-2 5		3 5 1
N =	-1 3 -2 2    1 3 3    -2 1	= M = o- W =	-1 -2 -2 2 3-1 -2 5 1
l">l =	-1 3 -2 2 1 -1	= o. [t/4| =	3 -2 -2 1 3 -1

wszystkie minory stopnia 3 są równe zero, czyli rz f/* 3. Obliczony wyżej minor \A\\ jest też minorem macierzy U, a więc także rz (7= 2. Podsumowując: rz A = rz U =2, czyli nasz układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (r = 2, liczba niewiadomych 3). Wyznacznik \A\\ jest wyznacznikiem utworzonym ze współczynników przy x i y w pierwszych dwóch równaniach, zatem w dalszych obliczeniach ograniczymy się do układu złożonego z pierwszego i drugiego równania z przykładu 7.5 oraz dodatkowo niewiadomą z (której współczynniki nie wchodziły' do wymienionego minora) przenosimy na stronę prawą, traktując ją od tej pory jako parametr. Będziemy więc rozwiązywać układ równań:

\3x-2y I S:

(7,7)

| - x + 3y    2 i 2z

który w tej postaci jest układem Cramera.

\A\ = 7*0,

= -6 + 6z + l-5z

= -5 + z

1 -5z	_2
-2 + 2z	3

3-l5z-4 + 4z =-\-\\z,

3

-1

1 -5z -2 + 2 z

i rozwiązaniem układu (7.7) jest trójka liczb:

-1-1 lz

jt = -

7

-5 + z

Y ⁼ —

Z 6 R.

Ta sama trójka liczb jest też rozwiązaniem układu wyjściowego z przykładu 7.'<

Przykład 7.6

W zależności od parametrów a i b rozwiązać układ równań: x-2y+3z = b

- ax + 5y-z = 1    (7.8)

-jc + 3j> + 2z = 3.

	1	-2	3'		1 -2	3	b
A =	a	5	-1	u =	a 5	-1	1
	-l	3	2		-1 3	2	3

rz A < 3    rz 17 < 3

1° Jeżeli \A\*0, to rz^ = rz!7=3 (jest to układ Cramera) i układ (7.8) ma dokładnie jedno rozwiązanie: