skanuj0042

n

= sin x • cos —.

Zadanie 16. (4 pkt) .    ,

, n\

Rozwiąz równanie sin \x +

= sin x • cos —

. / , Jt\ .    n

sin \x + -jl = sinx • cos

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów.

sin x cos    + cos x sin y = sin x cos ^ cos x sin = 0, ponieważ sin ^ * 0, to cos x = 0

x = | + kn, k G C Odp.: x = ^ + kn, k E C Zadanie 17. (4 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = log_0j5 (6*⁺¹ - 6^X~' - 210). Z definicji logarytmu wynika warunek:

6*⁺¹ - 6*"¹ - 210 > 0 I, 6*- 6 - 6* • 6^_1 - 210 > 0

I 6* • 6 - 6* • -7 - 210 > 0 6

35

m -6* > 210

o

6* > 36 6^X > 6²

Funkcja wykładnicza o podstawie a = 6 (a > 1) jest funkcją rosnącą w zbiorze R. Zatem x > Odp.: D = (2; 00)

Zadanie 18. (6 pkt)

Dane są zbiory: A = {(x,y): 4 \x \ -y - 4 =£ 0}, B = {(x, y): X² 4- y² - 2y -15 < 0}.

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A D B.

Ay

AJy & 4\x\ -4    ^u* p^:;"]..........1 r......-r-i".....i⁴

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

lub

Zbiór A jest kątem wypukłym, którego wierzchołkiem jest punkt (0, -4).

T "A-i³

fi: x² + y² - 2y - 15 < 0 x² + y² - 2y + 1 - 16 < 0 x² + (y - l)² < 16 S « (0,1), r * 4

Zbiór fi jest wnftrzom kola o środku S ■ (0,1) i promieniu r • 4.

|'i idlttnwt) ostrosłupa jest prostokąt ABCD, a krawędź &4 jest prostopadła do podstawy. W kn>, żc wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Sporządź rysunek ostrosłupa

Z definicji prostej prostopadłej do płaszczyzny wynika, że:

,V. | | ABCD => SA LAD i SA LAB, więc z\ SAD, tiSAB są trójkątami prostokątnymi.

Krawędź DA jest rzutem prostokątnym krawędzi DS na podstawę ¹ DS L DC.

I \ I DC (prostokąt ABCD)

K iii wędź BA jest rzutem prostokątnym krawędzi DS na podstawę BS L BC.

HA I BC (prostokąt ABCD), więc ,\S( D, ABCS są trójkątami prostokątnymi.

Zmianie 20. (7 pkt)

pana jest funkcja /określona wzorem /(²) = ^ a) Sporządź wykres funkcji /.

11) Wykres funkcji/przecina osie układu współrzędnych w punktach./!, B. W punktach/!,./? p prowadzono styczne do wykresu funkcji/. Wykaż, że styczne te są prostymi równoległymi

Pi zckształcamy wzór funkqi/do postaci 4. a

+ q.

x-_4 -2‘

JU

P

*-2-2

c - 2

/(²)²

g(x) =

-2

-2

-2

1 + -

u = [2,1]

Wykres funkcji/jest obrazem funkcji

Hi' - 2

g(x) = — w przesunięciu o wektor u -

[2,1]

b) Wyznaczamy współrzędne punktów A i B. -4 ■

/(O) ² -* - 4

- = 2, A = (0,2)

(x~2f

B = (4, 0)

.(² -2) - (² - 4) • 1

f(x) ■

(²-2)²

Obliczamy współczynniki kierunkowe stycznych poprowadzone w punktach/! i B: w punkcie/!: a_{ = /'(O)    w punkcie5: a₂ = /'(4)

2    1    aa _ 2 _ 1

- /'(O) »

(2)²

«₂=/'(4) =

(2)²

Odp.: Styczne do wykresu funkcji/poprowadzone w punktach A i B są równolegle.

1

f'(x) m ■

2

² 4,