skan0012 2

28

28

11. xy' - y m y/x^2 + y^a	12. my^1 m y iii	M s*
\/ 13. 2/' r= - -i- cos^2 - X X	14. »V ■ wy "|	- 4ai^9 Ę 4j/^a
15. y' - \ = tg* X X	16. xy' - y = (;
17. xy' = y/x^2 -y^2 +y	18. xy‘ =x + y + xcos — X
^ 19.2/^2 + ®V = ®3/3/' J 21. (22/ 4- x)da? 4- ydy — 0	nJ20. (a; 4- 2y)dy	= 2/d®
\ 22. (a;^3 4- y^iyjx^2 4- y^2)dx =	xyy/x^2 4- y^2dy

Wyznaczyć całki szczególne następujących zagadnień początkowych:

V \ ²³» y' =    -^X> 2/(1) = 3    iś±.xy'=y--y( 1) = 7r

^5. ,±-* + 2,. 3/(1) = 0    @£ ₌ _£__{J) 2(0)}ii J|

V27. (xy'-y)ln^ = x, y( 1) = e    28. xy' = j/(lny -Ina;), y(l) = e³^

\^29. V = y (l + ln , 2/(1) = e^_1 ^;_v ^0. (a;² 4- 2y²)dx + (4xy — 2/²)d3/ = 0, 2/(1) = 2

Odpowiedzi 1.2/ = ®(ln |a;| + (7)

4. y — Zx + Cx²

⁶'^!'⁼i^feŁc^w

8.3/ = Ce*

10. a? + y² + Cy = 0 12. y = — a;ln(ln |(7a:^H 14. y = xtg(4 ln |$j + ć),_M 16. y = xe^Cx — x 18. y = 2a;arctg((7 4- ln |a?|) 20. 2yln\y\ -x^Cy

3. ln(a;² + y²) 4- 2arctg = C

⁵* ^V = (7 — ln|a:|

7. (2/ - x)² = (7(2/ + x)

9.2/(ln |2/| - Ć7)² = 4x 11. y 4- y/x² 4- y² = Cx² 13. y = a;arctg(ln \Cx\)

15. y = x arcsin((7a;)

17. y = a;sin(ln|Ca;|)

19. y - x\n\y\ = Cx .

III.	■ ln I/ + ®	0 v + ®	22. y* - x^3 (-1 + y9[ln|C'*|]^2)
Kit.	j/-(l-H2®)®		24. sin — ■+■ ln |a?| = 0 X
HA.	V ■ ro^3 - ®		1 <U II B cc CS
87.	i/(i“ | - u	■ ®ln	a| 28. y = xe^1+2x;
80,	y m XG~^W		30. y^3 - Qxy^2 - x^3 + 17 = 0

!2m). Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równanie postaci

y' + 9(x)y = f(x j    (2.3.1),,

li funkcji niewiadomej y nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego Węd u. Szukftna funkcja y jest funkcją zmiennej x. Funkcje / i g są ciągłe w pewnym przedziale, Równanie

y‘ + g(x)y = 0    (2.3.2)

llimywamyj równaniem różniczkowym jednorodnym pierwszego rzędu.

Wiadomo, że całka ogólna y równania niejednorodnego (2.3.1) jest sumą całki ogólnej yo równania jednorodnego (2.3.2) i całki szczególnej Y równania niejednorodnego (2.3.1), tzn.

y(p) =Vo(x) +y(*).    (2.3.3)

Zauważmy, że równanie (2.3.2) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, a Wlqa Jego całka ogólna ma postać:

«o (x)=Ce-f?¥^)dx.    (2.3.4)

Oałln szczególną Y równania (2.3.1) można wyznaczyć metodą uzmiennienia Ntair\| albo metodą przewidywań.

Metoda uzmiennienia stałej polega na zastąpieniu stałej C w rozwiązaniu (2.3.4) przez nieznaną funkcję L i takim jej doborze, aby funkcja

,,_v Y(x) = L(.x)e~ S ^sMdx

spełniała równanie (2.3.1).

W niektórych przypadkach całkę szczególną równania niejednorodnego można również wyznaczyć metodą przewidywań i jąj odgadnięcie jest dość proste. Zapamiętujmy, że metodę przewidywań stonuj omy wówczas, gdy funkcja g występująca