skan0040

04

I'wypomnijmy ważniejsze transformaty I<aplw«'

oryginał /(t)	obraz £[/(<)) * W
1	łf^ite(s) > 0 s
t^n	HjS (n = 0,1,2, ■ • •), Re(s)> 0 5n+l
-at	—i—, Re(s) > a s — a
sin ut	iie(s) > 0 S^2 + (v
cos wt	SS iteW>0 s^2 + ar
e^atf(t)	F(s - a)
t^nm	(_l)«F^(n)(s)
[ f(^T)dr Jo	s
f *9	F(s)G(*)
f'(t)	sF(s)-m
rm	s^2F(s)-sm-f'(Q)'
dla f*g= f f(t Jo	- T)g{r)dT, j G(s) = £[$(*)]

Wyznaczyć transformatę funkcji:

Rozwiązania

I. Korzystając z definicji przekszałcenla Laplaco’n, mamy

F{,)= ria    ₌łz£l ,

«/0    i/0    S 1°    5

F(0)- n f(t)dtrn f dim 1 */o    */o

i. ii=

1, 0<t< 1 0, t> 1

2. m =

t, 0 < t < 1

1, i>l

3. f(t) ±c, c # 0    4. /(t) = 3t² + 2 cos 2t

5. f(t) = sinhat    6. f(t) = cos² at

Odp.:

1 — e"

F(6) =

1, s = O

2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, mamy

r/(t)r*‘* =	f\e~^stdt+ f
JO j	o J1
fl	fT f
/ te~^8tdt + lim
Jo ^T-fo°	A \
mm	e"^atd* + lim I
3 1°' 3 7o	T-*oo '

>

e~^atdt

u — t v' = e'

Ponadto,

1>00    fl    fOO

F(0) = J f(t)dt = tdt + J dt

Odp.: F{s) = -• ~ dla ile(s) > 0.

3. Skorzystamy z następującej własności przekszałcenia Laplace’a:

C[Cif(t) + C₂g(t)] = Ci£[/(i)] + C₂C[g(t)\,

gdzie Ci,C₂ są stałymi.

£[c] = £[c • l(t)] = c£[l(t)l Ęfle(s) > 0.

4.    £[3t² + 2 cos 21] = 3£[t²] + 2£[cos2t] = ^ +    fle(s) > 0

5.

£[sin/iat] = £

1J_    _

25-0    2 s + o s² -a²'

Re(s) > |o|

[    2 J 2

L l a U ^ł 8 «k 4. IP'

£[<:nn⁹»(] . C [-^+C°⁸-²--| = i-Cll(*)] + £gsgtM

/?,«(«) > o

6.