top11

$6 Spójność 23

poznaniu pewnych zabarwień emocjonalnych. Niektóre stają się nam przyjazne i pomocne, gdy kilkakrotnie doświadczymy, jak ułatwiają lub wręcz umożliwiają przeprowadzenie dowodu; inne z kolei możemy traktować nieufnie z dokładnie przeciwstawnych powodów. Oczywiście własności o dobrej reputacji także mogą nam niekiedy przysporzyć kłopotów; bywają • wreszcie własności zupełnie ambiwalentne. Otóż mogę Was zapewnić, że spójność, hausdorflfowość i zwartość są w przeważającej mierze „dobrymi własnościami”. Chciałoby się naturalnie wiedzieć, czy takie dobre własności przechodzą z „półproduktów” na „produkt końcowy” przy zwykłych konstrukcjach i procesach topologicznych. Oto więc

Fakt 1. Przy odwzorowaniu ciągłym obraz (łukowo) spójnej przestrzeni jest (łukowo) spójny; oznacza to, że jeśli X jest (łukowo) spójna, a f: X -* Yjest ciągłe, to podprzestrzeń f(X) przestrzeni Y jest (łukowo) spójna.

Istotnie, rozkład f(X)~A\jłi dawałby rozkład X =f~ ^l(A)uf~¹ (B) itd.

x

Fakt 2. Nierozłączne sumy przestrzeni (łukowo) spójnych są (łukowo) spójne; oznacza to, żc jeśli X₀ i X, są (łukowo) spójnymi podprzesirzeniami przestrzeni X, przy czym X * X₀\jX_i oraz X₀nX, ź 0. to X jest (łukowo) spójna.

X₀ ^ X, * 0

Fakt 3. Produkt kartezjański X x Y niepustych przestrzeni topologicznych X i Y jest (łukowo) spójny wtedy i tylko wtedy. gdy X oraz Y są (łukowo) spójne.

X ' Y spopo

Pytanie żartobliwe: jak jest dla sumy rozłącznej X i V?