Untitled Scanned 05

Rozdział II

AKSJOMATYCZNY SYSTEM RACHUNKU ZDAŃ

§ 1. AKSJOMATY

Aksjomatycznc ujęcie rachunku zdań polega na dobraniu niewielkiej liczby tautologii wyjściowych, tzw. aksjomatów, z których można wyprowadzić wszystkie tautologie rachunku zdań poprzez stosowanie operacji podstawiania i odrywania oraz na praktycznym wyprowadzeniu przynajmniej najważniejszych praw. Po raz pierwszy ujęcie takie zostało przedstawione przez niemieckiego matematyka G. Fregego w roku 1879. Obecnie znamy bardzo dużo różnych możliwych układów aksjomatów dla rachunku zdań. Jeden z takich układów (zaproponowany przez D. Ililberta i P. Bernaysa w 1934 r.) przedstawiamy poniżej. Zawiera on czternaście aksjomatów, które dla większej przejrzystości dzielimy na pięć grup.

I.    Aksjomaty implikacji

1.    p -> (q -> p)    Prawo    poprzednika

2.    O -(<?-* r)]    —    [Q> -*q) -+    {p    -*    r)]    Prawo    Fregego

II.    Aksjomaty negacji

3. (p -*q)~*    Prawo transpozycji

4.    Prawo podwójnego przeczenia

5. /> —♦ nn/7    Odwrotne prawo podwójnego przeczenia

III.    Aksjomaty koniunkcji

6.    p a q-*p    Prawo    symplifikacji

7.    p a q-*q    Drugie    prawo symplifikacji

8.    (p-> q)-* [{p    —    r)-* (p->    q    a    r)]    Prawo    mnożenia następników