Zagadnienia na ustny

Pytania z teorii z II scm. analizy (z wykładów do 21.IV 09

1.    Definicja całki Riemanna, przykład / niecałkowalnej, ograniczonej, ograniczoność funkcji całkowalnych

2.    Dowód inkluzji (Tfu,A] C /!(«,/>}

3.    Calkowalność sumy i iloczynu funkcji ciągłych

4.    I Tw. o wartości średniej, tw. Newtona-Leibniza

5.    Iloczyn skalarny (f.g) dla f,g € Ra,b]. Nierówność Caucliy'ego dla całek.

6.    Wykładniki harmonicznie sprzężonem nierówności Younga i Hóldera.

7.    Normy: Czcbyszewa (supremowa), zupełność przestrzeni C[a, 6j.

8.    Wahanie całkowite , norma w BV[a,b\.

9.    Tw. Bolzano-Weierstrassa w Rⁿ, osiąganie minimum i maksimum przez funkcje ciągłe na zbiorach domkniętych, ograniczonych.

10.    Równoważność wszystkich norm na Rⁿ.

11.    Wzory na całkowanie oznaczone przez podstawienie i przez części

12.    objętość bryły obrotowej

13.    Tw. o przyrostach dla funkcji o wartościach wektorowych (w S"), wzór na pochodną długości luku krzywej, wzór na długość luku krzywej.

14.    Kryterium porównawcze zbieżności całki niewłaściwej.

15.    Kryterium całkowe zbieżności szeregów.

16.    II tw. o wartości średniej (wzór Bonueta) dla całek, kryterium Dirichleta

17.    Przestrzenie metryczne, tw. o definiowaniu metryki przez normę

18.    równoważne opisy domknięcia zbioru w przestrz. metrycznej, otwartość kuli, własności zbiorów otwartych

19.    warunki równoważne ciągłości funkcji

20.    zupełność podprzestrzeni w p. metrycznej (implikacje...)

21.    Twierdzenie Banacha o punkcie stałym odwzorowań zwężających

22.    Przestrzenie metryczne zwarte, ich obraz przez odwz. ciągłe (tw. Weier-strassa)

23.    Test majorant (Weierstrassa) dla szeregów funkcyjnych.

24.    Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności jednostajnej szxercgów

25.    Tw. o zbieżności jednostajnej wraz z pochodnymi, zastosowanie dla szeregów potęgowych

26.    Promień zbieżności szeregu potęgowego, funkcje analityczne (przykłady), szkic dow. analityczności sumy szeregu potęgowego wewnątrz kola zbieżności.

27.    granice iterowane, tw. o granicy podwójnej

28.    PochoJne cząstkowe a różniczkowaluość funkcji n zmiennych

29.    Różniczki złożenia i jej postać macierzowa