0000003

1. Co to jest tautologia? Podać prawa de Morgana.

2. Obliczyć:

r \333 2 2	3. Wyznaczyć AA Jeżeli A =	'l 2 3 0
/		2 1

-1

i K:

4. Wyznaczyć LnK, jeśli dane są równania prostych: L:

x = 1 + 3t, z = 2 + /.

5.    Wielomian stopnia dziesiątego w dziedzinie zespolonej o współczynnikach rzeczywistych ma następujące pierwiastki zespolone: Z|=3 - 2i (dwukrotny), z₂= i (jednokrotny). Pozostałe pierwiastki są rzeczywiste - ile ich jest? Wypisać pozostałe pierwiastki zespolone.

6.    Podać rozkład funkcji wymiernej f na ułamki proste (nie liczyć współczynników), jeżeli

[x² - 5x + ó)(a: - 2)² (x² + 5.v + 7)

7.    Sformułować twierdzenie o odwracaniu macierzy. Podać postać macierzy odwrotnej.

x = r

8. Krzywą K:

y - /. obracamy dookoła osi OY. Wyprowadzić równanie powstałej powierzchni.

z = /,

9. Wyznaczyć pole trójkąta o wierzchołkach: A(2,-1,3), B(-1,0,2), C(3,2,-2). Obliczyć długość środkowej wychodzącej z wierzchołka A.

10. Podać definicję grupy abelowej.

cosy| + / sin

1.    Napisać w'postaci algebraicznej: -—-—.

cos f + /sin'!

4    4

2.    Wyznaczyć pierwiastki równania: (z²+4)(z²+4i) = 0.

1    1    2

3.    Wyznaczyć A .jeżeli A =    ^ ^ .

4.    Obliczyć odległość punktu A( 1, -1, 2) od prostej L:

* + = 1,

.r-z = 0.

5.

Wyznaczyć rząd macierzy A, jeżeli A

1

-3

-1

-2

1

-3

6.    Podać definicję bazy przestrzeni liniowej i sprawdzić, czy wektory e,=[ 1.0,2), e₂=[-l,2,-3], e₃-[ 1,2,1] tworzą bazę w przestrzeni R\

7.    Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu A( 1,2,1) względem płaszczyzny: x - 2y + z ■ 4.

8.

Wyznaczyć równanie walca ó tworzących równoległych do wektora 11,0.2) 1 kierującej K:

x = 2/,

jr + ay + z = 0,

Wyznaczyć aeC. dla których układ równań ma rozwiązania niezerowe:

9.

- x + 2y + az = 0, x - y + 3z = 0.

10. Podać definicje ułamków prostych liii rodzaju.