00098500

DOWÓD ego iwk'- zs >ia psRirjtttty rj i. uwagą na f.iki.łc aczkolwiek znanych ;«l x»:elc różnym d.-*i,l a twicrczcnia Rcr.inia. jednakże żaden -■ nich -ii ma charakteru iur :/uki>>vn, j<>. tza :    tskazzjc metody znak-.-io;. .i funkcji/(z). Kaz.l> / tych <’<‘w(h:ów m cha

rakter rg:> mnejonatn- ' J.-WOC istnieniu). Za’- zri.ii-. że btzeri obi za rów />; W duada.-ą sic 10 nąj-mniej z Ja .»i funkio jednym z moli może !•>< p mkl * m-.' nóc«>n.-*■ i ma u celu wykluczenie przypadku. *.ly D li;h !> jest calft płaszczyzna Ihioową

Luniemy się obecnie zagadnieniem 1] dl.. pewnych, z.re-zią bardzo wąskich, klas lunktjl 2au v.ii.ny jednak, że znajomo^: zagadnienu II, w szczególności zaś znajomość od*. atowań realizowanych przez meklórc funkcje c’emert.»me, może być z pożytkiem wykorzystana do rozwiązywania zjg.Jnierya I Przechodzi n-y do typowych przykładów.

Funkcja pierwszego stopnia. Wiemy już, że funkcja

w = azĄb, a¥-0    qil93)

gdzie a i 6 są to dane liczby zespolone, jest funkcją holomorficzną i jednokrotną na całej płaszczyźnie. Odwzorowanie każdego obszaru za pomocą funkcji (III.93) jest więc konforemne. W celu zbadania tego odwzorowania zauważmy, żc stanowi ono superpozycję następujących przekształceń:

1° w, = (a| • z

2° Wj-cJ.....w,

3” w=w_tAb

Pierwsze z tych przekształceń jest jednokladnością (homotetią) o środku w punkcie z - 0, drugie stanowi obrót o kąt argzr wokół punktu a¹! ~ 0, natomiast trzecie realizuje przesunięcie o liczbę b.

A oto prosty przykład liczbowy. Przyjmijmy a -■ -i. 5 --= 1+Ji odwzorujmy za pomocą funkcji (01.93) pierwszą ćwiartkę płaszczyzny. Mamy tu

h-, - 2z, w, = e ¹ - w,, w - K-, + (I +/)

Odpowiednie odwzorowania są przestawione na ry>. 111.21.

Jeżeli przyjmiemy, te obrazem pinklu - • r w przekształcenia (111.93) jest punkt «■ ■■■• co, to funkcja (111.93) odwzorowuje jednokrotnie płaszczyznę Gaussa na nią samą Jest to odwzorowanie konforemne, całej płaszczyzny Gaussa, gdyż zachowuje ono także kąt skierowany rmędzy każdymi dwoma kierunkami wyprowadzonymi z punku * Za kąi laki uważamy r definicji kąi między odpowiadającymi tym kierunkom w rzucie stenograficznym kierunkami na płaszczyźnie stycznej do sfery Riemanna w jej biegunie połiMiuiym i z;ii eruowjne względem tej sfery tak, jak płaszczyzna Z — patrz iys. Ml 22

Punki z = x jest punktem niezmienniczym przekształcenia pierwszego stopnia. Jeżeli a * 1, to przekształcenie (III 93) ma ponadto drugi punkt niezmienniczy z„, który znajdujemy z warunku z₀ az₀ \ b, mianowicie

Jeżeli a = I, to funkcja (IIT.93) jest postaci w = z-h. W tym przypadku z = oo jest jedynym punktem niezmienniczym odwzorowania, gdy h 1= 0, natomiast każdy punkt jest punktem niezmienniczym tego odwzorowania, gdy b = 0. W tym ostatnim przypadku (a = 1, h = 0), odwzorowanie (111.93) jest po prostu tożsamościowe.

Zauważmy, że funkcja odwrotna do funkcji (ni.93) jest postaci w-b

więc jest także funkcją pierwszego stopnia.

Maienutyka