0047

48

I. Teoria granic

3° Jeżeli ciągi {x„} i {y_n} mają granice skończone

lim x_n = a ,    lim y_n = b ,

przy czym ń#0, to iloraz tych ciągów także ma granicę skończoną, a mianowicie

Ponieważ 6 #0, więc zgodnie z twierdzeniem 3° z ustępu 26, poczynając od pewnego miejsca jest nie tylko y„/0, ale także

|y»|>'->o,

gdzie r jest liczbą stałą. Ograniczmy się do tych wskaźników n, dla których nierówność ta jest spełniona. Wówczas iloraz xjy„ jest dobrze określony.

Wychodząc, jak dawniej, z równości (1) mamy

y_n

a

b

b + Pn

= ^-(ba_n-ap_n). by„

Na podstawie lematów 1 i 2 wyrażenie w nawiasach jest ciągiem zbieżnym do zera. Stojący przed nim współczynnik, na podstawie tego co powiedzieliśmy, jest ciągiem ograniczonym

1

W.

Wynika stąd według lematu 2, że cały iloczyn po prawej stronie dąży do zera, a iloczyn ten przedstawia różnicę pomiędzy ciągiem {xjy„} a liczbą ajb. Tak więc granicą ciągu {xjy_n} jest ajb, czego należało dowieść.

31. Wyrażenia nieoznaczone. W poprzednim ustępie rozpatrywaliśmy wyrażenia

x„

(2)    x«±y„,    x„y„,    —

y_n

i przy założeniu, że ciągi {*„} i {y„} dążą do granic skończonych (oraz że w przypadku ilorazu ciąg {y„} nie ma granicy zero), ustalaliśmy granicę każdego z tych wyrażeń.

Pozostawiono bez rozpatrzenia przypadek, gdy ciągi {*„}, {y„} (jeden lub obydwa) dążą do nieskończoności lub, w przypadku ilorazu, gdy granica mianownika jest zerem. Zatrzymamy się tylko nad czterema z tych przypadków, stanowiącymi pewną ważną i interesującą osobliwość.

1° Rozważmy z początku iloraz {xjy„} i załóżmy, że obydwa ciągi {*„} i {y„} dążą do zera. Spotykamy się tu po raz pierwszy ze szczególną własnością: chociaż znamy granice ciągów {x„} i {y„}, to o granicy ich ilorazu — bez znajomości samych ciągów {*„} i {y_n} — nie możemy sformułować żadnego ogólnego twierdzenia. Granica ta zależy