0033

34

I. Teoria granic

za mniejszą liczbą n (albo mniejsza liczba n poprzedza większą liczbę ri). Jeżeli teraz zamienimy w ciągu (1) według jakiegoś prawa każdą liczbę naturalną n jakąś liczbą rzeczywistą x„, to otrzymamy ciąg liczbowy:

(2)    x₁,x₂,x₃, ...,x_n, ...,x„., ...,

którego wyrazy x„ są ponumerowane wszystkimi liczbami naturalnymi i położone w porządku wzrostu wskaźników. Jeżeli ri > n, to wyraz x_n. następuje po wyrazie x„ (x„ poprzedza x_n.), niezależnie od tego, czy sama liczba x_n, jest większa, mniejsza czy równa liczbie x_n i¹).

Z ciągiem x„ związana jest zmienna x (²), która przybiera kolejno jako wartości wyrazy tego ciągu.

Ze szkoły czytelnik zna już przykłady ciągów, np. ciągi postaci

a+(n-l)d, ... n

a , a + d , a + 2d , 1    2    3

(postępy arytmetyczne) lub postaci

^    j

1    2    3

(postępy geometryczne). Zmienny wyraz w obu przypadkach jest wyrazem ciągu.

W związku z definicją długości okręgu rozważa się zwykle zmienny obwód regularnego wpisanego w okrąg wielokąta, otrzymanego z sześciokąta przez kolejne podwajanie liczby boków; otrzymujemy zatem ciąg wartości:

p₆ = 6R,    p₁₂=l2R\h-^/3 ,    p₂₄ = 24K^2-^2 + ^3 ,    Pa ,    •••

12    3    4

Przypomnijmy jeszcze o dziesiętnym przybliżeniu (np. z niedomiarem) dla _x/2 o coraz to większej dokładności; otrzymujemy ciąg wartości:

1,4 ;    1,41 ;    1,414 ;    1,4142 ;    ...

12    3    4

Niekiedy ciąg x_n ma wyrazy znane bezpośrednio ze wzoru, np. w przypadku postępu arytmetycznego lub geometrycznego mamy odpowiednio x„=a+{n— \)d lub x„ = aqⁿ~ⁱ. Posługując się tym wzorem możemy od razu obliczyć dowolny wyraz ciągu, na podstawie znanego wskaźnika wyrazu, bez obliczania poprzednich wartości.

O Analogicznie określamy pojęcie ciągu punktów na prostej, czy też obiektów innej natury. (²) Wprowadzonego w wydaniu rosyjskim terminu warianta, nie przyjęto w tym tłumaczeniu (podobnie jak w poprzednim), ze względu na brak tego terminu w polskim słownictwie matematycznym (Przypisek tłumacza).