0090

91

§ 1. Pojęcie funkcji

ponieważ druga wartość - z minusem przy pierwiastku — jest niemożliwa jako ujemna, i powinna być odrzucona. Mamy stąd

x=ln(y + Vy² + l) ,

czyli tutaj funkcja odwrotna jest jednoznaczna.

Zauważmy, że z wykresu funkcji y—f(x) łatwo stwierdzić, czy funkcja odwrotna x=g(y) jest jednoznaczna, czy nie. Pierwszy przypadek zachodzi, gdy dowolna prosta równoległa do osi x, przecina ten wykres tylko w jednym punkcie. Przeciwnie, jeśli pewne z takich prostych przecinają wykres w kilku punktach, to funkcja odwrotna jest wieloznaczna W tym przypadku za pomocą wykresu można podzielić przedział zmienności x na części tak, żeby każdej części wykresu już odpowiadała funkcja jednoznaczna, gałąź jednoznaczna funkcji odwrotnej. Na przykład, rzut oka na parabolę z rysunku 4, która jest wykresem funkcji y = x², wyjaśnia, że funkcja odwrotna jest dwuwartościowa i że dla otrzymania gałęzi jednoznacznych wystarcza oddzielne rozważanie prawej i lewej części paraboli, tj. dodatnich i ujemnych wartości x (^ł).

Jeżeli funkcja x=g{y) jest funkcją odwrotną dla funkcji y=f(x), to oczywiście wykresy obu funkcji pokrywają się. Można jednak zażądać, żeby i argument funkcji odwrotnej był oznaczony literą x, tj. można rozważać zamiast funkcji x=g(y) funkcję y= =g(x). Wówczas należy tylko nazwać oś poziomą osią y, a oś pionową osią x i pozostawić wykres bez zmiany. Jeżeli natomiast żądamy jeszcze, żeby nowa oś x była jak poprzednio osią poziomą, a nowa oś y osią pionową, to te osie należy zamienić miejscami, co już zmienia wykres funkcji. Aby otrzymać nowy wykres, najprościej obrócić płaszczyznę wykresu Oxy o 180° wokół dwusiecznej pierwszej ćwiartki (rys. 19).

Tak więc wykres y=g(x) otrzymujemy jako odbicie zwierciadlane wykresu y=f(x) względem tej dwusiecznej. Z rysunków 13 i 14 np. widać od razu, że tą właśnie drogą otrzymaliśmy jeden rysunek z drugiego rysunku. Podobnie, wychodząc z tych samych wyobrażeń, łatwo objaśnić symetrię (względem dwusiecznej) każdego z rysunków 11 i 12.

50. Funkcje cyklometryczne (kołowe). Uzupełniając klasę funkcji elementarnych, wspomnianych w ustępie 48, rozważymy teraz klasę funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych, tzw. funkcji cyklometrycznych.

T Funkcje cykometryczne (kołowe):

y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x (y = arc sec x,    y = arc cosec x).

(‘) Poniżej powrócimy jeszcze do zagadnienia istnienia i jednoznaczności funkcji odwrotnej.