0092

93

§ 1. Pojęcie funkcji

przy czym pierwiastki bierzemy ze znakiem plus, ponieważ kąty a i /?, na podstawie własności podstawowej arkusa sinusa, leżą pomiędzy — i i mają kosinusy dodatnie. Tak więc

sin(oc-t-/})=x\/l — y²-t-yx/l — x²,

skąd

a + fi = arc sinx + arc sin y—Arc sin(x Vl — y² + y V1 — x² ).

Wzór ten można napisać w prostszej postaci

arc sinx + arc siny = arcsin(x V1 — y² + y Vl—x² )

tylko w tym przypadku, gdy również ca + ji należy do przedziału <—^71, ^tt). Warunek ten jest automatycznie spełniony, jeżeli argumenty x i y (a. wraz z nimi a i /?) mają różne znaki. W przypadku jednakowych znaków wskazany warunek jest, jak łatwo zauważyć, równoważny warunkowi:

x² + y²sS 1.

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla funkcji y=cos x (—oo <x< + co). Również tutaj funkcja odwrotna

y=Arccosx (— l<x«;l)

okazuje się (nieskończenie) wielowartościową (por. rys. 15). Aby otrzymać gałąź jednoznaczną, poddajemy ją warunkowi:

0<arc cosx<7t;

jest to gałąź główna arkusa kosinusa.

Funkcja arc cos x związana jest z funkcją arc sin x oczywistą równością

arc cos x = (rt — arc sin x ;

rzeczywiście, nie tylko kosinus kąta    —arc sin x równa się sin (arc sin x) = x, ale i sam

kąt zawiera się właśnie pomiędzy 0 i n. Pozostałe wartości Arc cos x wyrażają się przez jego wartość główną wzorem

Arc cos x = 2kn + arc cos x    (k = 0, ± 1, + 2, ...).

Funkcja y=tgx określona jest dla wszystkich x, poza wartościami x=\(2k + \)n (k=0, ±1, ±2, ...). Wartości y wypełniają tu przedział (—oo, +00), przy czym każdemu y znowu odpowiada nieskończenie wiele wartości x (por. rys. 16). Dlatego funkcja odwrotna x=Arc tg y, określona w przedziale (—00, +00) jest (nieskończenie) wielo-wartościowa. Na rysunku 21 przedstawiono wykres funkcji y=Arc tg x, otrzymany przez obrót o 180° wokół dwusiecznej pierwszej ćwiartki wykresu funkcji y=tg x. Za wartość główną arkusa tangensa, arc tg x, przyjmuje się tę wartość funkcji wieloznacznej, która spełnia nierówność

—^7t<arc tgx<^7i.