014

Zad. 4. Znaleźć długość krzywej między podanymi punktami:    a) y = (2x + l)s od

A{0,1) do B(3< 7\/7), b) y = 1 - Vx* od A(l, 0) do B(4, -7), c)^ = e* od A(0,1) do B(l,e), d) y =    + t~*) od 4(0,1) do 5(1,*^), e) y = ^ + £ od -4(1, ff) do

B(2, |). f) y = (4 - 2^) = od 4(1,3=) do B(8.0), g) y = |x² - ^ Ina; od 4(1,\) do B(e, \e? - i), h) y = ln(l -x²) od 4(0,0) do B(±,In |), i) y = |(z² + 1)^3/2 od 4(0, f) do B(|, ^), j) 9y² = x² od -4(0,0) do B(l_} |).

Zad. 5. Obliczyć długości krzywych w postaci biegunowej: a) r = <p dla 0 < ip < 2tt,

b)    r = ^ dla ^ < <p < 2, c) r = 2 - 2 sin y>, d) r = dla 0 <    < tt.

Zad. 6. Obliczyć długości krzywych w postaci parametrycznej:    a) x — 4£⁶, y — 6ć⁴ dla

0    < t < 1, b) x — cos³ t, y = sin^a t, c) x = cost -f ćsint, y = sint - tcost od t\ = 0 do *2 — TTj d) x = | cos³ ^ y = § sin³1.

Zad. 7. Znaleźć objętość bryły powstałej przez obrót figury zawartej międy podanymi krzywymi wokół osi Ox:    a) y — x = 1, x = 3, y = 0, b) y = z² — 4x, y = 0,

c) y = y/x, y = 0, z = 0, .r = 4_f d) y = c^2x, y = 0, £ = 0, x = 1, e) y = x², y = 4- x²:    {) y = x² - 2x, y - 0, g) y = z², y =    h) y = a: = 1, y = 0,

i) y = sin z, x = 0, x = tt, j) y = lnx, y = 0, x = e, k) = y^^⁴? ^ = 4, y = 0.

Zad. 8. Obliczyć objętość brył powstałych przez obrót następujących figur wokół osi Ox: a) figury między jednym lukiem cykloidy x = t — sin£_? y = 1 — cost, a osią Oz, b) figury wewnątrz asteroidy x = cos³1, y = sin³ i, c) figury wewnątrz kardioidy x = cos t - i cos2£, y = sint - \ sin2£, d) figury między krzywą x = i² - 1, y = oraz

osiami układu, e) figury między krzywą x = cos⁴1, y = 2 sint oraz osiami Ox, Oy,

f)    figury między krzywą jc = 1 - lni, y = lnć oraz osiami Oz, Oy, g) figury między

krzywą x = cos i, y — sin²1 oraz osią

Zad. 9. Znaleźć pole powierzchni powstałej przez obrót podanej krzywej wokół osi Ox:

a) y = 6x dla 0 < x < 1, b) y = x + 1 dla 0 < a: < 1, c) y = sin^ dla 0 < a; < jTj

d)    y = ^25 - dla -2 < j; < 3. e) y - tfx dla 0 < a: < 1, f) y = tg x dla 0 < x < f,

g)    y = dla 0 < x < 1-

.V

Zad. 10, Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót następujących krzywych wokół osi Ox:    a) x = t, y — C dla 0 < t < 1, b) kardioidy x = cost - ^ cos2t, y = sini -

1    siu 21. c) jednego luku cykloidy x = t - sin t, y = 1 - cos t, d) jednego łuku cykloidy x = 1 — cos t, v = t — sin t, e) x = 1 -t², y = 2t dla 0 < t < 1, f) x = 3-t, y = sin2i dla U<t<%.

Zad. 11. Obliczyć moment statyczny względem osi Oz obszarów ograniczonych krzywymi: a) x + y = 1, x = 0, y = 0, b)"y = Jx, y = 2t/x, x = A, c) y = sin2x (dla 0 < x < f),

y~ 0, d) y = V4- x², y = 0, e) y = y = z², f) y = |a:| - \V2, y = \^/2 -

kr!.

Zad. 12. Obliczyć moment statyczny względem osi Oy obszarów ograniczonych krzywymi: a) + y² = 4, b) x + y = 1, x = 0, y = 1, c) y = x², y = ^x, d) y = y = 0, x = e, e) y = e^2x, y = e, x = 0.

Zad. 13. Obliczyć moment bezwładności względem osi Ox obszarów ograniczonych krzywymi:    a) x = 0, x = 1, y — 0, y = 1, b) x² + y² = 9, c) y = e — e"¹, x = 0,

7; —0,    (1) y = sina: cosx, y = 0. 2=0, 2 = ^tt.

98