0184

185

§ 2. Różniczka

y wzrośnie o Ay=NM_y. Jednocześnie rzędna na stycznej uzyska przyrost NK. Obliczając NK jako przyprostokątną trójkąta prostokątnego MNK otrzymujemy

NK=MN tg a = y'_xAx = dy.

Tak więc podczas gdy Ay jest przyrostem rzędnej punktów krzywej, dy jest odpowiednim przyrostem rzędnej punktów stycznej.

Na zakończenie zatrzymamy się na samej zmiennej niezależnej jej różniczką nazywamy sam przyrost Ax, to znaczy przyjmujemy, że

(4)

dx=Ax.

Jeśli będziemy identyfikowali różniczkę zmiennej niezależnej x z różniczką funkcji y—x - co też jest pewnego rodzaju umową — to wzór (4) można udowodnić opierając się na wzorze (2), gdyż dx=x_xAx=l-Ax=Ax. Uwzględniając umowę (4) można teraz napisać wzór (2) będący definicją różniczki w postaci

(5)    dy = y'_xdx,

zwykle też piszemy ten wzór w tej właśnie postaci. Otrzymujemy stąd

(6)

dy

dx’ a więc wyrażenie, które rozpatrywaliśmy przedtem jako symbol jednolity, możemy teraz traktować jako ułamek. To, że po lewej stronie jest tutaj liczba w zupełności określona, podczas gdy po prawej stronie mamy do czynienia ze stosunkiem dwóch liczb nieoznaczonych dy i dx (przecież dx=Ax jest dowolne), nie powinno niepokoić czytelnika. Liczby dx i dy zmieniają się proporcjonalnie, przy czym pochodna y'_x jest właśnie współczynnikiem proporcjonalności.

Pojęcie różniczki zawdzięczamy Leibnizowi, który nie dał jednakże dokładnej definicji tego pojęcia. Wraz z różniczkami rozpatrywał Leibniz i „ilorazy różniczkowe”, to jest ilorazy dwóch różniczek, co jest równoznaczne z naszymi pochodnymi; jednak właśnie różniczka była dla Leibniza pojęciem wyjściowym. Od czasu Cauchy’ego, który swoją teorią granic stworzył podstawy całej analizy i po raz pierwszy wyraźnie zdefiniował pochodną jako granicę, weszło w zwyczaj przyjmować za wyjściowe pojęcie pochodnej, a pojęcie różniczki budować już na podstawie pojęcia pochodnej.

105. Podstawowe wzory i reguły różniczkowania. Obliczanie różniczek funkcji nosi nazwę różniczkowania^). Ponieważ różniczka dy różni się od pochodnej y'_x tylko czynnikiem dx, więc na podstawie tablicy pochodnych funkcji elementarnych [95] możemy łatwo ułożyć tablicę różniczek tych funkcji:

(^l) Tego samego terminu używa się zresztą i dla obliczania pochodnej, na które nie ma w języku polskim osobnego terminu.