019

19

1.2. Prawa wielkich liczb i symulacje

Twierdzenie 1.2.1 nosi nazwę mocnego prawa wielkich liczb, a twierdzenie 1.2.2 - słabego prawa wielkich liczb. Nazwy te są uzasadnione tym, że z mocnego prawa wielkich liczb łatwo jest wyprowadzić słabe prawo wielkich liczb. Dowodów tych nie będziemy tu przeprowadzać, a słabe prawo wielkich liczb udowodnimy później, w innej, łatwiejszej i ogólniejszej postaci. W tym momencie zajmiemy się tylko interpretacją tych twierdzeń.

Interpretacja prawa wielkich

Ucd>

Zdarzenie prawie pewne

Igła Buffona

W twierdzeniu 1.2.1 zdarzenie elementarne a) jest ustalonym doświadczeniem, będącym nieskończonym ciągiem obserwacji. W każdej obserwacji badamy, czy zaszło interesujące nas zjawisko, tzn. czy w i-tej obserwacji co e A_r Tak więc N(n, to) jest liczbą zaobserwowanych zjawisk w pierwszych n obserwacjach, w ustalonym doświadczeniu to. Równość (1.2.1) mówi, że stosunek liczby zjawisk zaobserwowanych w n obserwacjach do liczby obserwacji równej n, dąży do prawdopodobieństwa zaobserwowania zjawiska przy jednej obserwacji dla prawie wszystkich doświadczeń. Inaczej mówiąc, mogą się zdarzyć doświadczenia, w których nie zajdzie równość (1.2.1), ale stanie się to z zerowym prawdopodobieństwem.

Podobny charakter ma twierdzenie 1.2.2. Mówi ono, że stosunek liczby zjawisk zaobserwowanych w n obserwacjach do liczby obserwacji różni się niewiele od prawdopodobieństwa zaobserwowania zjawiska przy jednej obserwacji, tzn. prawdopodobieństwo, że różni się więcej niż dowolnie mała liczba e, dąży do zera, a więc jest dowolnie małe, jeśli tylko weźmiemy dostatecznie duże n.

Przykład. Rzucamy n razy kostką do gry, a n jest „bardzo duże”. Jeżeli liczba N(n) wyrzuconych szóstek daje nam N(n)/n znacznie różniące się od 1/6, to w myśl twierdzenia 1.2.2 albo zaobserwowaliśmy zjawisko rzadkie, które powinno zdarzyć się z małym prawdopodobieństwem (dokładniej, z prawdopodobieństwem dążącym do zera) albo kostka jest fałszywa, tzn. prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki jest różne od 1/6. Twierdzenie 1.2.1 mówi zaś więcej - zaobserwowaliśmy zjawisko, które zdarzyć się w ogóle nie powinno, bo może zajść z prawdopodobieństwem zero, choć oczywiście tylko w granicy, przy n —> ©o.

W twierdzeniu 1.2.1 ważną rolę pełnią zdarzenia o prawdopodobieństwie 1. Jeśli Pr (A) = 1, to mówimy, że A zachodzi prawie na pewno. Nie na pewno, tylko prawie na pewno, bo może być tak, że A ^ Śl, chociaż Pr (A) = 1.

1.2.2. Pierwsze przykłady symulacji

Przedstawimy tu dwa przykłady wykorzystania praw wielkich liczb do symulacji, zwanej metodą Monte-Carlo.

Przykład. Na płaszczyznę poliniowaną liniami równoległymi, odległymi od siebie o 1, rzucamy losowo igłę o długości 1. Jakie jest prawdopodobieństwo,