0312

313

§ 1. Pojęcia podstawowe

tzn. wpada do kuli otwartej o promieniu r i środku w punkcie M₀, natomiast warunek (8) ma ten sens, że jakąkolwiek wybierzemy liczbę <S>0, wspomniany punkt spełnia — znowu dla dostatecznie dużego k — nierówności

ai[<5,    I^-Oulcó,

tzn. jest zawarty w prostopadłościanie otwartym

(a_t-ó, Ui + <5; ... ; a„-d, a„ + 5) o środku w tym samym punkcie.

Niech teraz punkt M₀(a_lta₂, ...,a„) będzie punktem skupienia pewnego zbioru M w przestrzeni n-wymiarowej. Wówczas z można zawsze wybrać ciąg {M_k} punktów różnych od M₀, który jest zbieżny do M₀ jako do punktu granicznego.

Rozpatrzmy dla dowodu ciąg {r_k} o wyrazach dodatnich, dążący do 0. Na mocy definicji punktu skupienia [163] w każdym kulistym otoczeniu punktu M₀ o promieniu r_k istnieje różny od M₀ punkt M_k zbioru J(. Ciąg {M_k} jest oczywiście szukanym ciągiem.

Teraz można sformułować następujący warunek konieczny i dostateczny na to, by zachodziła równość (6) (lub (6*)):

Jeśli wybrać z Jt ciąg {M_k} punktów różnych od M₀ zbieżny do M₀, to ciąg liczbowy {f(M_k)} utworzony przez odpowiednie wartości funkcji będzie zawsze zbieżny do A.

Konieczność. Załóżmy, że zachodzi (6*) i że do zadanej liczby £>0 znaleziono odpowiadającą jej liczbę r>0 zgodnie z definicją z poprzedniego ustępu. Jeśli ciąg punktów {M_k} jest zbieżny do M₀, to dla dostatecznie dużych k jest

M₀M_k<r,

a to pociąga za sobą nierówność

\f(M_k)-A\<e,

skąd wynika, że f(M_k)^A.

Dostateczność. Załóżmy teraz, że powyższy warunek jest spełniony. Aby udowodnić, że zachodzi równość (6*) zgodnie z definicją z poprzedniego ustępu, przypuśćmy, że jest przeciwnie niż orzeka ta definicja. Wówczas dla pewnej liczby e>0 nie istnieje już odpowiednie r, tzn. jakąkolwiek liczbę r>0 weźmiemy, istnieje zawsze w J( taki punkt M' różny od M₀, że jednocześnie jest

M₀M'<r , ale \f(M')-A\^e.

Biorąc ciąg dodatnich r_k~*0, będziemy brali jako r kolejne liczby r_k. Dla każdego r_k istnieje na mocy powyższego swój punkt M_k różny od M₀, dla którego jest

M₀M_k<r_k, ale    \f(M_i) — A\'^E.

Zbudowany w ten sposób ciąg punktów [M_k} jest zbieżny do M₀, a jednocześnie ciąg liczbowy {/(M_k)} nie dąży do granicy A wbrew warunkowi. Sprzeczność ta dowodzi słuszności naszego twierdzenia.