0306

307

§ 1. Pojęcia podstawowe

Niech będzie najpierw dany prostopadłościan (3) o środku w punkcie M₀. Wystarczy wziąć kulę otwartą o tym samym środku i o promieniu r mniejszym od wszystkich <?,-(i = 1,2,by kula ta była zawarta we wspomnianym prostopadłościanie. Rzeczywiście, dla dowolnego punktu M(x_t ,x₂,...,x„) tej kuli będziemy mieli (dla każdego i= 1, 2,..., n)

x? — ó_j<x,<x® + ó_i,

lub punkty te należą więc do danego prostopadłościanu.

Na odwrót, jeśli dana jest kula o promieniu r ze środkiem w M₀, to prostopadłościan (3) będzie w niej zawarty na przykład dla j=<5₂ —... = <5„=rj^fn. Wynika z tego, że dowolny punkt M(x_x, x₂,... x„) tego prostopadłościanu znajduje się w odległości

od punktu M₀, a więc należy do kuli.

163. Ogólna definicja obszaru otwartego i obszaru domkniętego. Punkt M\x\, x'₂,x'„) nazywamy punktem wewnętrznym zbioru Jl (w przestrzeni n-wymiarowej), jeśli należy on do zbioru M wraz z pewnym swoim dostatecznie małym otoczeniem.

Z twierdzenia udowodnionego w końcu poprzedniego ustępu wynika oczywiście, że wszystko jedno jakiego typu otoczenie będziemy mieli na myśli, prostopadłościenne czy kuliste.

Dla prostopadłościanu otwartego

(4)

C^ai >b₂;; a„, b_n)

każdy jego punkt jest wewnętrzny. Rzeczywiście, jeśli

a₁<x\<b₁..... a„<x'_n<b_n,

to łatwo znaleźć takie <5>0, żeby było

a₁<xi-ó<xi+ó<b₁.....    a_n<x'„-S<x'„+5<b„.

Analogicznie w przypadku kuli otwartej o promieniu r i środku w punkcie M₀, każdy należący do niej punkt M' też jest punktem wewnętrznym. Jeśli wziąć p tak, aby

0 <p<r—M'M₀

i opisać wokół M' kulę o tym promieniu p, to będzie ona leżała całkowicie w wyjściowej kuli. Niech tylko MM'<p, wówczas [161, (2)]:

MM o < MM'+M’M₀ <p+M'Mo < r,

punkt M należy więc do wyjściowej kuli.

20*