0219

ROZDZIAŁ XI

SZEREGI NIESKOŃCZONE O WYRAZACH STAŁYCH

§ 1. Wstęp

362. Pojęcia podstawowe. Niech będzie dany pewien nieskończony ciąg liczb

(1)    <¹i» a₂, a₃,..., a_n,...

Utworzony z tych liczb symbol

(2)    a_t+a₂+a₃ + ... +a„+ ...

nazywa się szeregiem nieskończonym, a same liczby (1) — wyrazami szeregu. Zamiast symbolu (2) można się posługiwać znakiem sumy pisząc

00

(2 a)

«—1

wskaźnik n przebiega wszystkie wartości od 1 do 00 (¹).

Dodając kolejno wyrazy szeregu tworzymy nieskończenie wiele sum

(3)    Ai = Q\, A₂ ~    A3 = a\~\^ma₂'¥a₃, .... A_n = Ui-i-ti2"ł” •••    ...

Sumy te nazywają się sumami częściowymi lub odcinkami szeregu. Z szeregiem (2) będziemy zawsze wiązali taki ciąg sum częściowych {A_n}.

Rola symbolu (2) polega właśnie na tym, że wskazuje na wspomniany ciąg.

Skończoną lub nieskończoną granicę A ciągu sum częściowych A„ szeregu (2), gdy n -¹ 00,

A = lim A„

nazywamy sumą szeregu 1 piszemy

00

A = a₂+a₂ + ••• +a_n+ . nadając tym samym symbolowi (2) sens liczbowy.

1

Zresztą wygodniej jest czasem zaczynać numerację wyrazów szeregu nie od jedności, lecz od zera lub jakiejś innej liczby naturalnej.