0322

323

§ 2. Funkcje ciągłe

Kombinując każdą połówkę pierwszego podziału z każdą połówką drugiego otrzymamy cztery prostokąty

/ a + b c + d\ \ ' 2 ^1 c' 2 )’	rrn /^a + b a ^c + dN (II) ( 2 , b , c, 2 y
/ a+b c+d \ 2 ^; 2	/a + b c + d (IV) ( 2 , b ; 2 , d

na które rozkłada się prostokąt wyjściowy <«, b,c,d) (rys. 98).

d

III	IV
1	li

chL

~r

Przynajmniej w jednej z tych części będzie zawarty nieskończony zbiór punktów danego ciągu, w przeciwnym bowiem razie w całym prostokącie również byłaby zawarta tylko skończona ich liczba, co jest niemożliwe. Niech <Ui, bi \ c_k, będzie tym prostokątem spośród prostokątów (I), (II), (III), (IV), w którym zawarty jest nieskończony zbiór punktów naszego ciągu, albo jednym z takich prostokątów, jeśli jest ich kilka.

Otrzymany prostokąt podzielimy znowu na cztery mniejsze prostokąty i weźmiemy ten z nich, w którym zawarty jest nieskończony zbiór punktów danego ciągu. Oznaczymy go przez <a₁,b₁-,c₂,d₂y.

Ten proces kolejnego rozbijania prostokątów można kontynuować w nieskończoność. W fc-tym    Rys. 98

kroku wybierzemy prostokąt <a_k,b_k\c_k,d_k>, który zawiera nieskończony zbiór punktów M„. Wymiary tego prostokąta

■Ul---

d — c d_k-_Ck = -^r

dążą do 0, gdy k-^ + ao.

Zastosujęmy teraz osobno do ciągu przedziałów {<a_t, b_k}} wartości x i osobno do ciągu przedziałów {<c*, d_k}} wartości y lemat o przedziałach zstępujących [38]. Wynika z niego, że końce przedziałów a_k i b_k jak również c_k i d_k dążą odpowiednio do wspólnych granic

lim a_k= lim b_k = x*

(6)    i

lim c_k = lim d_k = y* .

Można powiedzieć, że ciąg prostokątów {(.a_k, b_k\ c_k, d_k}} ściąga się do punktu    y*).

Biorąc teraz jako M_ni dowolny punkt zbioru, który wpada w prostokąt , b₁;    , d_k},

będziemy następnie wybierali kolejno punkty M„₂, M„₃, ..., biorąc jako M„_k(x„_k, y„_k) dowolny punkt ciągu następujący po wybranych poprzednio i zawarty w prostokącie

21*