§ 2. Funkcje ciągłe

Układ 27*= {er*'} tych prostokątów otwartych pokrywa obszar 2>. W myśl lematu Borel wydzielimy z niego skończony układ prostokątów

^<7>*⁼(^xi^—ł<5,> ^xi+i$i; yi-łSi, yi+ł$i) >

który także pokrywa 3>. Oznaczmy wreszcie przez <5 najmniejszą z liczb |<5,.

Niech (x, y) i (x₀, y₀) będą dwoma dowolnymi punktami obszaru S>, dla których

(10)    |x-x₀j<<5,    |y-yo|<<5 •

Punkt (x₀, y₀) należy do jednego z otoczeń crf, na przykład do otoczenia

<=(^xi₀ - i <5.o ’ ^x.o+i ^sh; yio -i^si₀’ yio+łK)>

a więc

1*0 - ■*ioi < i ^Sio .    1^0 - >’io I < 4 <5/0 •

Ponieważ    z (10) wynika, że |x-x₀!<ł<5_io i \y~y₀\<^i_o- Stąd

|x-*o|<<5_io,    b-^o^^/o-

Okazuje się więc, że oba punkty (x, y), (x₀, y₀), leżą w jednym z pierwotnie określonych otoczeń

(*fo <5/o ’ ^x/0 "i" <5.0 ¹ -f/o <5.0 ' >’io + SJ ,

a wówczas w myśl tego, co udowodniliśmy, spełniona jest dla nich nierówność (9).

Tak więc udało się nam dla e>0 wybrać ó>0 niezależnie od położenia punktu (x₀, y₀), przez co udowodniliśmy, że funkcja /(x, y) jest jednostajnie ciągła.

§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

177. Pochodne cząstkowe i różniczki cząstkowe. Dla uproszczenia wzorów i wykładu ograniczymy się do przypadku funkcji trzech zmiennych, wszystko jednak, co będzie dalej powiedziane, jest słuszne także dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.

Niech więc w pewnym obszarze otwartym 9> będzie dana funkcja u=f(x, y, z). Weźmy w tym obszarze punkt M₀(x₀, y₀, ^zo)- Jeśli ustalimy wartości y=y₀, z=z₀ i będziemy zmieniali x, to u będzie w otoczeniu x₀ funkcją jednej zmiennej x. Można zapytać o obliczenie pochodnej tej funkcji w punkcie x=x₀. Nadajmy tej wartości x₀ przyrost Ax, wówczas funkcja uzyska przyrost

A_xu = A_xf(x₀, y₀, z₀) =f(x₀ + Ax, y₀, z₀) -f(x₀, y₀, ^zo) >

który można by nazwać jej przyrostem cząstkowym względem x, gdyż jest on wywołany przez zmianę jednej tylko zmiennej. Zgodnie z samą definicją pochodnej, jest ona granicą

A_xu    f(x₀ + Ax,y₀,z₀) —/(x₀, y₀ > ^zo)

lim-= lim-•

Ax->0