0482

483

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

zależnie od tego czy t<t₀, czy t>t₀. Tym samym w punkcie (x₀. y<>) schodzą sif dwie gałęzie krzywej odpowiadające wartościom t<t₀ i t>t₀. Mają ohe wspólną styczną poziomą lub pochyłą i są obie położone w prawo od prostej pionowej x=x₀. Innymi słowy krzywa ma tutaj punkt zwrotu (rys. 139). Jest to główny przypadek punktu osobliwego dla krzywej danej równaniami parametrycznymi.

Łatwo jest pójść nieco dalej w tych badaniach, aby stwierdzić jakiego rodzaju jest ten punkt zwrotu. W tym celu wprowadzimy pochodne trzeciego rzędu i przyrosty x—x₀ oraz y—y₀ napiszemy w postaci

x-x₀=\x'ó{t-1₀)²+1(xó''+a*)(t-*₀)³ »

y-y₀=i y'ó(t -1₀)²+i (/<,"+fi*) (* -1₀)³,

gdzie a* i fi* również dążą do zera, gdy t-*t₀.

Obliczmy korzystając z równania (19) rzędną Y punktu stycznej o odciętej x. Otrzy-mamy

Y — yo~~y, (x-x₀)=iy'ó(t-t₀)²+i • ~7, (xo'+a*)(t-t₀)³ .

X₀    x₀

Utwórzmy teraz różnicę rzędnych Y i y odpowiadających tej samej odciętej x.

to)³

i {*o’yo-*oyo', A,.

"'“fil-^-^+y)^{t-

przez y* oznaczyliśmy znowu pewną wielkość nieskończenie małą przy t-*t₀.

Teraz jest jasne, że gdy x'_o”yo—x'₀'y'_o"^0 (a tak jest zazwyczaj), różnica Y—y ma inny znak dla t<t₀ niż dla t>t₀, to znaczy ma różne znaki dla obu gałęzi krzywej, które stykają się w punkcie (x₀,y₀)- Oczywiście jest to słuszne tylko dla wartości t dostatecznie bliskich t₀. Gałęzie krzywej są położone po różnych stronach stycznej i badany punkt jest punktem zwrotu pierwszego rodzaju.

Przykłady takich punktów osobliwych spotykaliśmy niejednokrotnie; cykloida, epicy-kloida i hipocykloida, ewolwenta koła — wszystkie te krzywe mają punkty zwrotu właśnie tego rodzaju (rys. 118-121 na str. 453-456).

Może się okazać w wyjątkowym wypadku, że Xo'y'ó—x'₀'y’₀''=0. Wówczas rozwinięcie różnicy Y—y według potęg t—t₀ zaczyna się od czwartej lub wyższej potęgi tego dwumianu. Jeżeli potęga jest parzysta, to badany punkt osobliwy jest punktem zwrotu drugiego rodzaju.

§ 3. Styczność krzywych

238. Obwiednia rodziny krzywych. Jeżeli dwie krzywe mają wspólny punkt M₀ i w tym punkcie wspólną styczną, to mówimy, że krzywe te są styczne w punkcie M₀. Paragraf ten jest poświęcony pewnym zagadnieniom związanym ze stycznością krzywych płaskich.

31*