086

86

5. Estymacja

1.67, 2.21, 2.19, 1.71, 1.97,    2.02,    1.96,    2.02,    1.59,    2.04,    2.01,    2.35,    1.85,    2.17,    2.10,

2.31, 1.94, 1.87, 1.68, 2.12,    2.22,    2.06,    2.12,    2.30,    2.01,    1.79,    1.73,    2.17,    1.51,    1.76,

1.63, 2.14, 2.00, 2.06, 1.91,    2.08,    2.18,    1.74,    1.96,    2.09,    2.11,    2.10,    2.25,    1.98,    2.06,

2.50, 2.02, 1.85, 2.05, 2.25,    2.06,    1.96,    2.02,    2.09,    1.80,    2.03,    2.49,'    1.90,    1.86,    2.18,

1.74, 1.94, 2.36, 2.31, 2.15,    2.15,    2.22,    2.26,    1.62,    1.89.

Dane te są zapisane w pliku dane 100. dat.

Przyjmijmy poziom ufności 1 — a = 0.95. Ponieważ

Pr(|t/| > u_a) = 2Pr(t/ > u_a) = 2(1 — <&(«„)) = a = 0.05,

to $(«_a) = 1 — a/2 = 0.975. Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy, że u_a = 1.96. Z powyższych danych o rozkładzie normalnym obliczono x = 2.0031 i 5 = 0.1967.

Ze wzoru (5.2.1) po podstawieniu O = $ otrzymujemy przedział ufności dla średniej

a więc przedział (1.965,2.042).

Gdyby do obliczeń dostępne były tylko początkowe cztery dane: 2.29, 2.03, 1.86, 2.24, to x = 2.105 oraz s = 0.19841. Wtedy korzystając z rozkładu t-Studenta o trzech stopniach swobody, (model II), otrzymujemy t_a = 3.182. Ze wzoru (5.2.2) otrzymujemy przedział ufności (1.7893,2.4207).

Jeżeli wiadomo byłoby, że o = 0.2, to z modelu I, wzór (5.2.1), mamy jak na początku u_a = 1.96, skąd przedział ufności (1.9090,2.3010).

Na zakończenie zwróćmy uwagę na istotną rolę założenia o rozkładzie normalnym populacji. Tylko przy tym założeniu próba może być mała. Jeżeli to założenie nie jest spełnione, to musimy mieć dużą próbę. To ostatnie założenie oznacza asymptotyczną normalność statystyki, na mocy twierdzenia Lindeberga-Levy 'ego.