24 (62)

f¹ ji*t ^ ^M    ' Y° ’ ² °)

sjwaga 2.

Wszystkie podane operatory są liniowe, co zapisujemy krótko Va,pe$R: grad(acp+pv)/) = agradtp+pgradip,

y

,|₌ f/)((.)',*)(/{ +    i frU,y,,Adt

V v°

div(aF+pG) = adivF+pdivG, rot(aF+pG) = arotF+protG,

A(aq)+p\|/) = aA(p+pA\|/.

Pole wektorowe F, dla którego divF = 0 nazywamy polem bezźródłowym. Pole wektorowe F, dla którego rotF = 0 nazywamy polem bezwirowym

Jeżeli istnieje pole skalarne (p takie, że F = grad (p, to pole wektorowe F nazywamy polem potencjalnym (<p nazywamy wtedy potencjałem).

Twierdzenie 1.

Jeżeli pole wektorowe F jest potencjalne i jest klasy C¹(V), to jest bezwirowe.

Uwaga 2.

Tezę tego twierdzenia można zapisać krótko: rot(gradcp) = 0. Y< I7<f - O £<>    ^f

Przykład 1.

Wykazać, że pole wektorowe F =

syo

'yO

¹    >    \

d    d

^ x    by    JTz

I i i    _ x ,

y^jz^z*y

y²+-,2xy,-^ + 2z

jest potencjalne i wyznaczyć jego potencjał.

7(e-o)-; C-|. '(-il)-i uiiy-^r

Ti

₇ y    U■,0-? A{y,z

u y

P{.

bcf

śy -¹* r

ir -

0 2.

(j [/{Y/z) - * y

A

z

A

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki

24