IMG'96

•.Alitiui /■*/* <P SAI - ńficzi-iiin

li) iraconydi wskutek awarii centrali, X czas trwania awarii, mu gęstość r.p. |i(i-J-nexp(-nx). u -0. riU

korzysinj wynik / punklu aj i wzór nn prawdopodobieństwo całkowite - wyjdzie z lego pewna całka Jcili nic pamiętasz. 10

fl*C«|K-lWl a ii'

cl odrzuconych w przedziale czasu <Q..f> wskutek przepełnienia centrali, jeżeli każdemu zgłoszeniu może się to przytrafić z prawdopodobieństw em p.

Wykorzystaj wynik / punktu a) i po raz kolejny wzór na prawdopodobieństwo całkowite - tym razem układ zupełny zd. będzie dyskretny.

kolejce do procesora czeka r zadań rezydentnych i /; nierezydentnych. Czas ‘przeiwarzania każdego zadania wynosi I cykl, kolejność wyboru następnego zadania do przetwarzania jest losowa. Po przetworzeniu zadanie rezydentne pozostaje w kolejce, zaś merezydeninc znika. Znajdź wartość średnią liczby cykli niezbędnych do przetworzenia wszystkich zadań nierezydentnych.

Niech F. - szukana średnia. Dla wartości średnich istnieje odpowiednik wzoru na prawdopodobieństwo całkowite: Iw. o średniej warunkowej. Uzasadnij przy jego pomocy zależność rckurcncyjną /:. • I>/:„r/(rr/i)♦ F,_ri nl(r*n) (jaki jest oczywisty warunek początkowy7) Wylicz stąd EjE,*i, a następnie. poprzez sumowanie takich różnic. E„. Jaki ma sens i jak się zachowuje różnica

Ćwiczeniu. VII: FuiiJ>cję;ęJm^

1>\(k») oznacza funkcję charakterystyczną zm.l. X.

j • Jaki rozkład ma suma 2 niezależnych zm.l. X. V o rozkładach | N(/i| o,) i Nf/Ó.a.).

Mozcsz. obliczyć z dcf. f charakterystycznej (ale lo trochę pracochłonne), bądź. sprawdzić w podręcznikach. zc dla zm.l 2 u rozkładzie N(0.11 mamy ip.(i<i'>c.\p{-b^:/2). Dalej. X=Q|Z+£, i dla Y analogicznie • skąd lo się bierze? Teraz pora przypomnieć sobie własności f. charakterystycznej związane z liniową kombinacją zm.l * stąd <(>\{u).ipi(u) oraz lft,-yly.|. Sprawdź, ze widoczne z. ipxiv(b) parametry ^i.\' ^ 11 "AX*'t l zgadzają się z ogólnymi własnościami wartości średniej i wariancji.

hj Poissona z parametrami r; i h l*(X=//J=ir^,,expl-<ri n‘ i l'(Y*ir)»A"exp(-/')///!, rr=0,l.....a,h>0.

Oblicz ęi-.(t'ł.*ł'i(u) z dcrinicji - /.ni I. dyskretne.wiec szeregi, nic całki. Skorzystaj z roz.winięcia

C\plvj-I_M.r^,/r'

n

SKwH

mamm

Hi

J. Kiniorski: U. SM - i u'u :aim

/) 2. Main napisane 2 funkcje chnraklcrysiycziie: «|>.\(u)»/lcxpMv|) oraz

ił>v(\j)=/fexp(/v)/( 1 -aexp(/u)). a>0 Jakie muszą być siale/T? "Na oko" widzę, ze X jesi ctąulą. a Y dyskretną zm.l. - skąd lo wiem? Wyznacz gęstość r.p. X oraz r.p Y.

■    t\

Co do A, przypomnij własności funkcji cliarakierysiyr/iicj w punkcie u-() Następnie zauważ. 1c i^fu) jesi okresowa, a (|k^\i) * nic, i przypomnij, co Ci kiedyś mówiono o całkach i szeregach Fouriera Odwróć tpx(v) z definicji (całka Fouriera * nieipidiia) i zobacz, slup) wzięły się kłopoty z momentami lego rozkładu - Ćwicz. V. zad. 3. Natomiast <pyiV) przedstaw jako szereg geometryczny i odwróć pr/ez porównanie współczynników.

I

|kŁ91    - '11 • M

3. Znajdź funkcję charakterystyczną 1

% j

a)    liczby "szóstek" w N rzutach kostką symetryczną,

T'

Mo/Jia bezpośrednio. korzystając z Ćwicz. II, zad. ,ln). ale lepiej przedstawić poszczególne rzuty jako niezależne zm.l. o ro:Uad:ic ilmiiiuiikiowytn (binarnm): X,^MI albo 0 z prawdopodobieństwami p 1|./»

b)    sumy K niezależnych zm.l o rozkładach wykładniczych p(j')*óexp(-ai), *20: co się dzieje, gdy o j o-»oo w len sposób, ze pozostaje stale?

Powstaje roiklail bslnnga rzęilu K - por. Ćwicz. VI. zad. ta). Dalej skorzystaj z tego. ze lim_n__t_( I +x/n)"*cxp(r). Jaki jest graniczny r.p.? Czy ten wynik zaskoczyłby Cię. gdybyś upr/rdnw policji Ii i a rozkładu Erlanga? Dioriic dowolny rzeczywisty prąd K otrzymujemy r/tzklnil fiwwini r.yilu K : imrmnclrcm a (suma ‘niekoniecznie całkowitej* lic/by składników o rozkładach wy kładniczych), dla którego p(*)^,|r(k^,)r^,fl***’^,cx|H-ri.r). fłM. ty) jest znaną funkcją gamma Eulera.

c)    liczby rzutów kostką symciryczną do wyrzucenia "szóstki" po raz Af-iy.

Pokaz, źc ip_A(u)⁸|ąi|(u)|^A. Funkcja i(i|(u) wystąpiła w-/ad 2... Por tez Ćwicz. II. /ad 3b).

'I 4.Potrzebuję X sekund na dokończenie obliczeń, a za Y sekund mój komputer padnie. Y mii rozkład jak w zad. 3b). Wyraź przy pomocy <P\(v) prawdopodobieństw o, ze zdązę.

Dokładnie taki sam problem jn/. wystąpił • por. Ćwicz. VI. /ad. 3a). Skonstruuj więc |iodobną całkę i zobacz, czy c/egoś Ci mc pr/ypnmiiia

I 5. Dla pewnej zm.l. X mamy l2X^ł*=0 dla k nieparzystych i ^liX^,=A!/<i^l dla k parzystych Określ <p.\(u) i sprawdź, czy lalwo stąd otrzymać rozkład X.

Przypomnij zwią/ek pomiędzy Ha a « h'\(u)|ńAi' i wobec tego napisz rozwinięcie *;*\l u i wui.nl uvii | len sposób, by wystąpili w nim manicmy Li.\‘. Dla naSZęj /nil otr/ynniję.mt prosty do zamimwroia szereg... Ale odwiwreiiic utrzymanej funkcji charaktcrystyc/Jicj proste juz nic test isprawdz. ze pasuje ro/J.lad Liplace'n - ( wic/. V. /ad. -1). •• ‘Mógłbyś to zresztą wydcilukouać i bez f clui.Ml.icf»siuvir.'i modyfikując meznac/me call.ę podaną na Ćwicz VI. zad -ibl • guybys miał w głowic tablice całek

■v-; ■    . s h ,• * , By

i    - 4 '.2

; >; 1

U