IMG(01

./ Kuno • A'/¹ <i^: SM - ćwiczenia

. ' R.    Ł-E t_    . ¹ . •>

b) zarówno £jak i a są nieznane, cr=E\ statystyka Z =    — Jn - I . gdzie E i o są jak w

a

y 'PzW“^c [¹ +¹• /(»-1)]

V¹

znd. 2a), ma rozkład t-Studenta o i»-l stopniach swoboc

Rozkthd l-Sfudcnln jest jak widać symetryczny względem nvej średniej (ro\viicj 0). zatem c" i c' można przyjąć jako... (wyra/je jako kwamyle rozkładu I-Sludcma. poszukaj w lablicacli).

^! (chi-kwadrat) o //-' 1 stopniach

c) jak wyżej, 0=0; statystyka Z = na¹ / o¹ ma rozkład swobody - por. Ćwicz. IX. zad. 3b)

Jako ć i e¹ można przyjąć dowolne kwnritylc K„ odpowied tiego rozkładu clii-kwadral rzędami różniącymi Się o 5-0.95. typowo 0.975 i 0.025 (są w tablicach). Szerokość otrzymanego przedziału ufności jako funkcja n może Cię nieco zdziwić, ale zauważ¹ w tablicach, że Kpnjs rośnie trochę szybciej, a Kito trochę wolliiej niż liniowo zn,    _    j

Dla próby prostej X|.....X„ z populacji o rozkładzie p.\, 'E oraz ó¹ określone są jak w

Ćwicz. XI, zad. 2a).

j. Weryfikujemy hipntezt; zerową Mn¹Hn(r») dotyczącą nieznanego parametru o rozkładu p.\

wobec hipotezy alternatywnej H|(o). Definiujemy statystykę Z²/«(Xi.....X„) i ohszar krytyczny

fł„ laki. że P(Ze    (zadane prawdopodobieństwo odrzucenia Hn(o), gdy ta jest

prawdziwa, typowo a²l%, 5%. 10%). Przyjmujemy Hn(o) jeżeli Ze! fł„. zaś Mi(o) jeżeli Ze n_a Para (Z, fł₀) określa tzw. test istotności dla parametru a na poziomie istotności a. Jest on tym mocniejszy, im większe jest I’(ZeflJH|(o)) (prawdopodobieństwo przyjęcia Hi(o). gdy ta jest prawdziwa). Niech px~N(£.o), przy czym o jest znane. Hn(£)¹(/i⁼£o⁼0),

Ilt(£)“(£^<£n). Z¹-—Jn . Zaproponuj Q_n zapewniający dużą moc testu i oblicz tę

et

/I—

2|/:-/;'nmn rozkład N(O.I). zaś Z|E</Ii, ma rozkład N(n^,rI(/T-Co)/a. I) - sprawdź to! W tym ostatnim przypadku wartość średnia jest <0. tj. rozkład przesunięty jest na lewą pótoś. Dlatego sensownie jest wybrać obszar krylyczny lewostronny: n.=(-».....). Wyraź moc testu poprzez funkcję Laplacc'a <!'(•)

c) jak w punkcie b), lecz próba ma ticzność ii“50

o

rozkład t-Studcnia o ir-1 stopniach swobody - por. Ćwicz XI, zad 5b) (tzw usi Siudemu),

Jak w punkcie a), potrzebny kunniyl Kom - z tablic rozkładu i-Sludcula Wniosek mc zatV.il mc pt> / manty tu jeszcze mniej htronnacji niż. w punkcie a) - wyjaśnij

Teraz wniosek jest odmienny... (dla n230 rozkład l-Slodcnia można juz przyjąć jako jego rozkład --1 graniczny N(0,l) - sprnwdij Porównaj z punkiem b) w duchu "teraz to już. mc przypadek *

Grubości elementów produkowanych przez robola mają rozkład N(E,o) o nieznanych I. • o

.....X„: grubości wybranych /> elementów zmierzone 1 mikrometrem, Y|.....Y. grubości

wybranych ii elementów zmierzone II mikrometrem. Odpowiednie kolejne wyniki przy ir-10 (189, 191. 193, 183, 196, 199, 179, 185, 190, 178) i (189, 188. 180. 179. IBS. 198. 175. 1*6. 188, 182). Zweryfikuj na poziomie istotności a-5% hipotezę zerowy te mikrometry me wykazują systematycznego wzajemnego odchylenia, jeżeli

a) mikromierze mierzyły 2 różne /r-tki elementów,

Mamy Iii niejako 2 populacje: pomiary I i II tuikroincircm. o rozkładach N(£x.O) i Nlf.y.o) (jlioio nam* tylko o systematycznym wzajemnym odchyleniu, me ma podstaw do różnicowania dt spersji) Weryfikujemy hipotezę £*“Ey. alternatywnie E**Ep Dla wybranych prób tworzyriu analogicznie jat poprzednio Ł,, E_v, Ó ,. d_¥.n dalej knrzysiamy z lego. żc o ile E\^mF.\, statystyka

hipotezy alternatywnej obszar krytyczny jest dwustronny. n."(— ....) \j (,. —) Wniosek b) mikromierze mierzyły te same elementy.

Teraz oczywiście Xi i Yi są wzajemnie zależne. W takiej sytuacji dla różnic Xi»Y| luorziim t,, i

korzystamy z tego. że o ile £*~£v. statystyka Z» E,, Jn - I lń,, nu rozkład i-Studcnia o «■ i

stopniach swobody. Dalej jak w punkcie a)...

4. W tzw. teście zgodności y} (clii-hwt/ral) Pcarsnna. mając próbę prostą X|. ,.\_ai populacji o nieznanym rozkładzie px (dyskretnym lub ciągłym), weryfikujemy hipotezę zerową px=p* wobec hipotezy alternatywnej px*p*. gdzie p* jest pewnym rozkładem lam iuznuu

Przedział wartości zaobserwowanych w próbie dzielimy na li podprzedzialów (klas) •

tworzymy histogram - por. Ćwicz. V. zad. I, Ij N,-|(l X, należy do /-tej klasy!| Prt\ prawdziwej hipotezie zerowej statystyka Z=L-1 .n(N,-ij/^,r)^://lⁱ/\. gdzie /'.«całka z p* po r«M klasie, ma przy u—»*» rozkład (chi-kwadrat) o /M stopniach swobody (praktycznie gdy im,«!6 dla każdego r) - por Ćwicz IX. zad 3b) Obszar krytyczny    ■) Rozpatrz

;i= 100-elcmentową próbę prostą z populacji wyrobów, z których każdy mole bvc wadliwy Uda sprawny, zawierającą 29 wyrobów wadliwych i 71 sprawnych Zweryfikuj na poziomic istotności a=2.5% hipotezę, że prawdopodobieństwo wadliwości wyrobu jest irvtvne/**fl 2

Z punktu widzenia obliczeń sytuacja jcsi prosta, gdyż mamy ft-I klasy a kUAlje* pr/trfaałąą > punktowym.. Czyli l‘t^mp.    Wartości 29 i 71 są realizacjami rn I jaki jest uumek’ K śgftj

przyjąć /»■().2 27

1

2^lobol ma produkować elementy o nominalnej grubości 0.04 mm. Rozkład grubości | produkowanych elementów jest N(£,o). Dla sprawdzenia pobieramy rt=5 elementów, ich grubości dają E ¹=0.037 mm. Zweryfikuj na poziomie istotności a-5% hipotezę zerową /.'“O 04 mm wobec hipotezy alternatywnej /i<0 04 mm,' gdy

2

a) znamy 0=0 005 mm,

Sytuacja jak w zad. I. Potrzebujesz, t-uo - Ćwicz XI. zad. 5a). Wniosek. .. przyjąć którą hipotezę'¹